Vianočné stromčeky a lucerny • Konstantin Knop, Evgeny Epifanov • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • Matematika

Vianočné stromčeky a lucerny

úloha

Na veľkom, veľmi veľkom námestí na Silvestra boli nainštalované veľa vianočných stromčekov a veľa, veľa lucerníkov a viac vianočných stromčekov ako lampášov. Môže to ukázalo sa, že vo vzdialenosti 1 meter od každého stromu je presne 8 svetiel? (Vianočné stromčeky a lucerny sa považujú za bodky a plocha je plochá.)


Tip 1

Áno, môže to byť.


Tip 2

Skúste najprv nájsť riešenie pre jednoduchší prípad: keď vo vzdialenosti 1 m od každého stromu sú 2 svietidlá a strom viac ako lucerny.


rozhodnutie

Najprv sme diskutovali o jednoduchšom prípade z hrotu 2. Umiestnite svetlá do štvorcovej mriežky so stranou 2 m a na vianočné stromčeky uprostred všetkých segmentov medzi dvoma priľahlými svetlami. Ak je na jednej strane N svietidlá a potom budú všetky svietidlá N2, Yolok s 2N(N – 1), pretože polovica z nich je na vertikálnych segmentoch a polovica na horizontálnej. Už v roku N = 3 stromy budú viac ako lucerny. Obrázok 1 znázorňuje situáciu, kedy N = 5: na ploche 25 lucerníkov a 40 vianočných stromčekov.

Obr. 1.

Pri riešení hlavnej úlohy si udržíme umiestnenie svetiel a takmer všetky vianočné stromčeky (tie, ktoré tento stav nespĺňajú, jednoducho ich odstráňte z námestia). A potom, čo sa dá zmeniť? Paradoxne je najlepšie zmeniť jednotku merania, tj meter. Bude to čoskoro jasné, prečo.

Predpokladajme, že je veľká plocha, na ktorej stoja stromy a lucerny rovnakým spôsobom ako v príklade, ktorý sme rozobrali vyššie. Po prvé, odpovedzme na túto otázku: existuje kruh s centrom v danom vianočnom stromčeku, na ktorom sú presne 8 svietidiel? Môžeme predpokladať, že tento strom je pôvodom súradníc a súradnicové osi sú paralelné so segmentmi spájajúcimi najbližšie svietidlá (nechajme osi na osi, na ktorej stojí náš strom). Potom svetlá budú mať súradnice formulára (2k + 1, 2l) kde k a l – celé čísla (jednotka meradla stupnice, ktorú sme ešte nezmenili). Podľa Pythagorovej vety je štvorec vzdialenosti od svietidla so súradnicami (2k + 1, 2l) k stromu je (2k + 1)2 + (2l)2, Takéto sumy sa môžu navzájom rovnať pre rôzne dvojice celých čísel (k, l). Napríklad 12 + 82 = 72 + 42 = 65. To znamená, že svetlá v bodoch (7, 4) a (1, 8) sú na rovnakej vzdialenosti od stromu. Ale potom v rovnakej vzdialenosti od neho sú aj svetlá, ktoré sú umiestnené v bodoch (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, , (-1, -8) a všetky takéto svietidlá budú presne 8 (na obrázku 2 sú zobrazené modrou farbou, z dôvodu zrozumiteľnosti je cez nich preťahovaná kružnica). Všeobecne povedané, nepodarilo sa nám dokázať, že ich nebude viac ako osem, ale toto jednoduché cvičenie bude ponechané na čitateľovi na samostatné rozhodnutie.

Obr. 2.

Teraz sme pripravení na sľúbenú "zmenu metra". Teraz nechajte nový meter bude polomer tohto okruhu, na ktorom sme našli 8 svetiel. Potom pre všetky vianočné stromčeky, ktoré sú dostatočne "hlboko vo vnútri námestia", bude splnená podmienka okolo 8 svetiel. Zostáva vypočítať, čo je "hlboko vo vnútri". Strom by mal byť taký, aby na ňom vpravo a vľavo bolo 7 "starých meračov" a hore nad nimi na svietidlách 8 "starých metrov". Koľko takýchto stromov je na horizontálnych segmentoch, ak je počet svietidiel pozdĺž strany štvorca N? Musíme odstrániť stromy horných a spodných štyroch radov a stromov troch ľavých a troch pravých stredných segmentov. To znamená, že teraz v každom horizontálnom rade N – 7 vianočných stromčekov (a nie N – 1, ako to bolo predtým), a teraz sú tam také riadky N – 8, nie N, To isté možno povedať o stromoch na vertikálnych riadkoch, takže celkový počet stromov je 2 (N − 7)(N – 8). Nerovnosť 2 (N − 7)(N − 8)>N2 vykonané na N ≥ 26 (obrázok 3). S takýmto N bude splnená podmienka úlohy.

Obr. 3.


Doslov

Všimnite si, že v našom riešení sme použili nápady, ktoré sa blížia k tomu, ktoré boli zvážené v úlohe Kruhy na károvanom papieri. Podrobne opisuje, ako vyhľadávať v kockovej rovine kruhu, ktorý prechádza daným počtom uzlov siete.Upozorňujeme tiež, že naša úloha môže byť vyriešená iným spôsobom: pozri riešenie problému M1129 "Questbook" "Quest".

Vo všeobecnosti sú problémy s konfiguráciami konečného počtu bodov v lietadle, ktoré by uspokojili určité vlastnosti, veľa. Zdá sa, že to všetko by malo byť "detinské" otázky ako naše, ale mnohé takéto problémy sa ukázali ako veľmi zložité a do nich sa zapájajú profesionálni matematici. Oblasť matematiky venovaná podobným problémom – kombinátorovej geometrii – sa vyvinula počas celého XX storočia a Paul Erdos významne prispel k tomuto procesu.

Mnoho problémov spojovacej geometrie zaujme s jednoduchosťou ich formulácií. Napríklad: dokázať, že ak nie všetky body v súbore ležia na jednej línii, potom existuje čiara, ktorá prechádza presne dvoma z týchto bodov. Toto je veta Sylvester-Gallaiovej vety, ktorá už dlho vyriešila. Ale ako sa hodí na dobrý problém, z toho vyplývajú ďalšie otázky: pretože táto veta hovorí, že musí existovať aspoň jedna priama čiara prechádzajúca presne dvomi bodmi, koľko takýchto priamych línií môže byť? Pred pár rokmi publikoval článok venovaný tomuto problému Terence Tao, ktorý znova ukazuje, že z jednoduchých otázok až po špičku vedy je často dosť krátka cesta.

Autor problému a riešenia: Konstantin Knop
Autor príspevku: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: