V = S = P • Nikolay Avilov • Populárne problémy vedy o "prvkoch" • Matematika

V = S = P

úloha

Je tu je konvexný polyedrón, ktorého číselné hodnoty objemu, plochy povrchu a súčtu dĺžok všetkých okrajov sa zhodujú?


pomôcť

Taký polyedrón existuje napríklad medzi správnymi hranolmi.


rozhodnutie

Podľa nápovede hľadajte vhodný hranol. Správny hranol je určený číslom n strany základného polygónu a vysoký hod.

Súčet dĺžok všetkých jeho okrajov je:

\ [P = 2na + nh. \]

Keďže základný polygón je pravidelný, jeho oblasť, ako je ľahko nájsť, je \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Teraz je ľahké nájsť zvyšok parametrov hranolu, ktoré sa objavujú v probléme.

Jeho objem V sa rovná:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi \ n \ cdot h. \]

Plocha S sa rovná:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Z rovnosti V = S zistíme, že \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). tým, hod > 2. Môžete tiež prepísať výraz pre zväzok vo forme \ (\ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \).

Z rovnosti V = P vzťahy \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) a

\ frac {\ pi} \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + ) ^ 2 = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}.)

Je zrejmé, že funkcia \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) v intervale \ ((; žiadne iné). Preto nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou existencie požadovaného hranolu je splnenie nerovnosti \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), čo platí pre \ (n> 12 \).


Doslov

Pozrime sa, čo sa deje v podobnej situácii v lietadle. Napríklad na štvorci štvorcových sú číselné hodnoty oblasti a obvodu rovnaké. Tá istá vlastnosť má 3 x 6 obdĺžnik a pravý trojuholník s nohami 5 a 12 (obrázok 1).

Obr. 1.

Ako viete, obdĺžnik nie je tuhá postava: ak umiestnite závesy na jeho vrcholy, nebudú samy osebe (ako napríklad v prípade trojuholníka alebo štvorstenca). Pomocou tohto môže byť preukázané, že existuje rovnobežník s rovnakými hodnotami plochy a obvodu. Je ľahké nájsť obdĺžnik, ktorého plocha je väčšia ako obvod: použije sa obdĺžnik so stranami 8 a 5. Ak postupne znižujete jeden z pravých uhlov obdĺžnika z 90 ° na 0 °, najprv sa obdĺžnik okamžite zmení na rovnobežník, obvod zostane 26 a po druhé, jeho plocha bude neustále klesať z 40 na 0 a v určitom bode sa stane rovným 26. To bude potrebný rovnobežník. Tento proces je zobrazený v modeli obdĺžnikového rámu (obrázok 2). Je zrejmé, že také paralelogramy sú nekonečne veľa.

Obr. 2.

Ukazujeme, že existuje nekonečne veľa trojuholníkov, v ktorých sú číselné hodnoty oblasti a obvodu rovnaké.Rozdelíme všetky trojuholníky do tried, z ktorých každá obsahuje všetky podobné trojuholníky. Ukazuje sa, že v každej takej triede existuje trojuholník, v ktorom sú číselné hodnoty oblasti a obvodu rovnaké. Zvážte jeden z trojuholníkov triedy. Nech je jeho oblasť S1a obvod je P1, potom podobný trojuholník s koeficientom k má oblasť S2 = k2S1 a obvod P2 = kP1, Ak sa ako koeficient podobnosti vziať k = P1/S1potom dostaneme trojuholník s \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Čo bolo potrebné.

Napríklad, vezmite egyptský trojuholník. Jeho obvod je \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \) a oblasť \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Podobný trojuholník s koeficientom podobnosti 2 bude mať označenú vlastnosť: pravý trojuholník s nohami 6 a 8 (obrázok 3, vľavo). Rovnorodé trojuholníky možno tiež zvážiť. Medzi nimi potrebná vlastnosť má trojuholník s bočnou stranou (4 \ sqrt % \): jej oblasť a obvod sú rovné \ (12 \ sqrt % \).

Obr. 3.

Podobným spôsobom sa dá preukázať, že v každej triede podobných polygónov existuje jedna, v ktorej sú číselné hodnoty oblasti a obvodu rovnaké.

V trojrozmernom priestore je prirodzené pridať podmienku rovnosti objemu, ako to bolo vo vyhlásení problému.Z riešenia je zrejmé, že nie každý "typ" polyhedronu umožňuje rovnosť objemu, povrch a celkovú dĺžku okrajov: medzi správnymi nuhľovodíkových hranolov n <12 nie sú žiadne.

Najmä neexistuje taká kocka a obdĺžniková rovnobežnosť (pretože ide o štvorhranné hranoly). Pre takúto polyhedru je však ľahké vykonať náhlavnú kontrolu. Napríklad pre kocku sa to robí takto. Kocka s okrajom má hlasitosť V = 3povrchu S = 62 a súčet dĺžok okrajov P = 12, ak S = P, potom 62 = 12to znamená = 2. Ale potom S = P = 24 a V = 8.

Napriek tomu pre niektoré polyhedry môže fungovať odôvodnenie podobné tomu, ktoré je pre trojuholník. Ak vezmeme do úvahy všetky polyhedry podobné, potom súčet dĺžok okrajov sa bude meniť úmerne k prvému stupňu koeficientu podobnosti, plocha povrchu bude úmerná druhému stupňu a objem bude úmerný tretiemu stupňu. To znamená, že úloha sa znižuje na túto otázku: robia zodpovedajúce línie, paraboly a kocky v jednom bode? Zmena tvaru polyhedrónu v takejto formulácii zodpovedá posunom týchto kriviek v rovine.A je celkom zrejmé, že v niektorých prípadoch môžu byť umiestnené tak, aby sa pretínajú v jednom bode. Ale je možné nejako rozumne popísať všetky príslušné polyhedry? … Ak máte nápady na túto tému – napíšte komentáre k problému!


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: