"Ťažké" talings • Khaidar Nurligareev • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • matematika

„Tvrdé“ záplaty

úloha

Jednoducho sa dlaždí rovina s identickými trojuholníkovými dlaždicami (obrázok 1, vľavo). Takáto schéma je vhodná pre akýkoľvek trojuholník. Môžeme povedať, že táto obkladačka je "nepevná" v tom zmysle, že ak trochu zmeníme rozmery trojuholníkov (stále musia byť rovnaké), potom opäť získame obklad roviny podľa tejto schémy (obrázok 1, vpravo).

Obr. 1.

Ale stane sa to inak. Pozrite sa na obrázok. 2: aj tu sú všetky trojuholníky rovnaké, ale táto schéma funguje iba pre úplne špecifické proporcie trojuholníkov. Môžeme povedať, že takéto naklonenie je "ťažké".

Obr. 2.

a) Za predpokladu, že všetky trojuholníky na obr. 2 sú rovnaké nájsť ich uhly a pomery strán. Dokážte tože z čísla sú jednoznačne určené.

b) Príďte s "tvrdé" obkladanie rovnakých konvexných štvoruholníkov.

c) Príďte s "tvrdé" obklady rovnakých päťuholníkov (nie nevyhnutne konvexné).


Tip 1

a) Aby sa dosiahla podmienka, že uhly trojuholníka musia spĺňať, postačuje použiť skutočnosť, že súčet uhlov susediacich s každým vrcholom je 360 ​​°. A hľadanie podmienok na bokoch je užitočné zvážiť segmenty tvorené niekoľkými stranami priľahlých trojuholníkov.

Nezabúdajte, že uhly a boky sa nemôžu meniť nezávisle od seba, sú navzájom prepojené. Okrem toho je pomer medzi uhlovými pomermi a pomermi strán jeden k jednomu. V skutočnosti, keď poznáte pomer strán, môžete určiť hodnoty uhlov podľa kosínovej vety. A keď poznáte uhly, pomer strán môžete nájsť pomocou sínusovej vety. Preto na vyriešenie problému stačí nájsť iba dve rovnice na stranách alebo uhloch.


Tip 2

b), c) Základná myšlienka je nasledujúca. Ak chcete, aby bol obklad "tvrdý", kópie tej istej dlaždice, ktorá je v ňom obsiahnutá, musia byť navzájom v kontakte čo najviac. Potom každá takáto metóda dá určitú rovnicu pre uhly a strany a viac rovníc – menej stupňov voľnosti.

Existuje niekoľko spôsobov, ako sa pokúsiť o vytvorenie takejto dlaždice, ktorej kópie by sa mohli použiť navzájom rôznymi spôsobmi. Jedným z nich je, aby sa na dlaždice uvádzali určité charakteristické obmedzenia. Vyhľadajte ju napríklad v triede polygónov s rovnobežnými stranami. Alebo medzi dlaždice, ktoré strany sú rovnaké. To môže byť tiež dobrý nápad, aby zvážili uhly, ktoré rozdeľujú 360 ° a sú násobky z nich.

Ďalším možným spôsobom je pokúsiť sa použiť už známe vyvýšeniny, ako napríklad na obr. 3. Potom sa musíte pokúsiť vytvoriť novú dlažbu z niekoľkých dlaždíc alebo kúskov dlaždíc, ktoré sú súčasťou pôvodnej dlažby. A až potom z kópií výslednej dlaždice položíme "tvrdú" dlažbu, ktorej obrysy budú hádať pôvodné dlažby.

Obr. 3.


rozhodnutie

a) Označte strany a rohy trojúhelníkovitej dlaždice, ako je znázornené na obrázku vľavo. 4. Pozorovanie segmentu vytvoreného stranami štyroch trojuholníkov (v strede na obrázku 4) nám umožňuje získať pomer strán: + C = 2b, A pri pohľade na vrchol, v ktorom sa zbiehajú tri trojuholníky (vpravo na obrázku 4), chápeme, že 2γ = 180 °. Preto γ = 90 °, to znamená, že trojuholník je obdĺžnikový. Preto vyhovuje Pythagoreanovej vetve: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Obr. 4.

Teraz, nájsť požadované vzťahy, pomerne jednoduché výpočty:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Odtiaľ sa dostaneme

\ (a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ \ dfrac % %. \]

Podľa toho sú uhly trojuholníka rovnaké \ (\ beta \ arcsin \ dfrac % % = arcsin \ dfrac % % \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \

b) Zoberme si obdĺžnikový lichobežník pozostávajúci zo štvorca a pravého trojuholníka, ktorý sa rovná polovici tohto štvorca (obrázok 5, vľavo). Kópie tohto lichobežníka môžu byť navzájom spojené rôznymi spôsobmi.Keďže chceme, aby výsledná dlažba bola "tvrdá", musíme na začiatok vytvoriť takéto konfigurácie zo špecifikovaných trapézových dlaždíc, ktoré budú jednoznačne definovať vzťahy strán a uhol lichobežníka. To sa dá ľahko dosiahnuť. Napríklad zostavenie štyroch dlaždíc zobrazených na obr. 5, dosiahneme rovnosť γ = δ = 90 ° a urobíme kríž z osem dlaždíc, získame podmienku α = 45 °. Ak sa z troch dlaždíc zhromaždí obrázok zobrazený na obr. 5 vpravo, potom rovnosť 2 = b.

Obr. 5.

Je zrejmé, že ak štvoruholník uspokojuje vyššie uvedené štyri rovnosti, potom určite predstavuje náš obdĺžnikový lichobežník. Preto akékoľvek obklady, pri ktorých sa stretnú všetky vyššie uvedené konfigurácie, sa určite ukážu ako "tvrdé" v tom zmysle, že podľa toho istého schémy nebude možné dlaždiť žiadne iné kvadrangle. Existuje nespočetné množstvo podobných vyklenutí; ako je napríklad obklad znázornený na obr. 6.

Obr. 6.

Upozorňujeme, že hoci obklad na obr. 6 podľa našej definície "tvrdé", je ľahko vystavená deformácii: môžete voľne pohybovať dlaždice,umiestnené v rovnakom horizontálnom alebo vertikálnom rade pozdĺž príslušnej priamej čiary. To sa dá vyhnúť tým, že ich pridáte iným spôsobom. Napríklad, ako je znázornené na obr. 7.

Obr. 7.

c) V centre výkyvov znázornených na obr. 6 a obr. 7, môžete odhadnúť štandardné parkety štvorcov (obrázok 3, vpravo). Ukážeme, ako podobným spôsobom dokáže získať "tvrdý obraz" nekonvexných päťuholníkov, pričom základom je obklad s pravidelnými trojuholníkmi (obrázok 3, vľavo). Aby ste to urobili, vezmite dlaždice tvorenú dvomi pravidelnými trojuholníkmi a dvomi polovičkami takých trojuholníkov (obrázok 8, vľavo).

Obr. 8.

Rovnako ako v predchádzajúcom odseku, najprv špecifikujeme štyri konfigurácie, ktoré definujú dlaždice, o ktorej uvažujeme jednoznačne. Sú znázornené na obr. 8. Prvý z nich nastaví uhol ε = 90 °. Druhá možnosť vám umožňuje napísať vzťah 3γ + 2ε = 360 ° a keďže uhol ε je už pevný, dostaneme γ = 60 °. Podobne tretia konfigurácia dáva rovnosť α + γ + 3ε = 360 °, od ktorej α = 30 °. A nakoniec, posledná konfigurácia nám umožňuje pochopiť, že β + 2γ = 360 °, to znamená β = 240 °. Pokiaľ ide o uhol δ, určuje sa na základe skutočnosti, že súčet uhlov pentagónu je 540 ° a S = 120 °.

Obr. 9.

Ukázalo sa, že iba konfigurácia zobrazená v strede na obr. 8, dosť pre rovnosť b = e = = d, Preto vyššie uvedené štyri konfigurácie skutočne definujú päťuholníkovú dlaždicu jednoznačne. Tak zostáva poskytnúť príklad obkladov, ktorý zahŕňa všetky z nich. Pri jeho konštrukcii pomáha myšlienka vytvárania prúžkov: najskôr s kópiami našich dlaždíc vytvárame nekonečný pás, ktorý sa dá aplikovať na seba (obrázok 9). A potom pokryjeme celú rovinu takými pruhmi (obr.10). Poznamenávame širokú uplatniteľnosť myšlienky navrhovania pruhov: podobná "pruhovaná" štruktúra má oba talings, ktoré sme vytvorili pri riešení bodu b)a vo všeobecnosti každá periodická dlažba je v skutočnosti tvorená pásmi. Prípad sa však neobmedzuje na periodické výkyvy (ako je to napríklad v prípade problému Polamimina Parqueta).

Obr. 10.

V našom príklade dlažba nie je konvexná, ale to absolútne nie je nevyhnutným predpokladom na vytvorenie "tvrdej dlažby". Zvážte päťuholníkovú dlaždicu zobrazenú na obr. 11 – pozostáva zo štvorcového a dvoch pravých trojuholníkov s menším uhlom 22,5 °.Ukázalo sa, že kópie takejto dlaždice môžu byť tiež obkladané v rovine "tvrdej", ako je znázornené vpravo na obr. 11. Je pravda, že je to o niečo ťažšie dokázať ako "tuhosť" talísk, s ktorými sme sa stretli skôr. Napriek tomu uveďme hlavné body tohto dôkazu.

Obr. 11.

Po prvé, zo schémy, podľa ktorej sú dlaždice uložené, je jasné, že strany uspokojujú vzťahy = e = b a C = b + d, Čo sa týka rohov, na nich možno zostaviť štyri rovnice, z ktorých je zrejmé, že α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° a β + 180 ° = 2γ. Preto zadaním uhla φ = δ / 2 môžeme prostredníctvom neho vyjadriť ďalšie uhly:

\ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta \ \ \ \ \ \ = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Teraz je hlavná myšlienka nasledujúca. Aby bol obklad "tvrdý", je potrebné, aby mu nedošlo k mieram voľnosti. V súčasnej dobe naša dlaždica má dva parametre, ktoré môžeme meniť: uhol φ a pomer strán a d, Tieto zmeny však nemôžu byť ľubovoľné, pretože parametre sú navzájom prepojené. Ak po analýze povahy tohto spojenia ukážeme, že pre túto schému sa realizuje iba konečný počet možných uhlov a pomer strán, potom sa okamžite zistí, že požadovaný obklad je "tvrdý".

Zadávame zápis, ako je znázornené v ľavom dolnom rohu na obr. 11. Pretože CDEF – rovnostranný lichobežník, potom základňa

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Preto môžeme nájsť pomer segmentov a dvyjadrenie segmentu BF pomocou kosínovej vety v trojuholníkoch ABF a CBF:

\ (BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformácia, dostaneme

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Na druhej strane môžeme nájsť pomer segmentov a dvyjadrenie segmentu AC pomocou kosínovej vety v trojuholníkoch ABC a AFC:

\ (A ^ 2 ^ a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {circ ^ 2 ^ varphi) = \ ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Ak \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), teda ak je päťuholník odlišný od nášho, dospejeme k nasledujúcej rovnosti:

\ \ \ \ \ dfrac {2 \ sin \ 2 \ varphi} \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ cos2 \ varphi}. \]

Najmä je možné vidieť, že je to možné len s \ (\ cos2 \ varphi <0 \) a

\ Cos \ varfi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 cos \ 2 \ varphi-1) \ varphi-1) ^ 2}. \]

Posledná rovnica môže mať len konečný počet riešení. Takže dlažba je "ťažká".


Doslov

Všetky výkyvy uvedené vyššie ako súčasť tejto úlohy v podstate používajú jednu polygonálnu dlaždicu. Kopírovali sme túto dlažbu a potom pokryli celú rovinu kópiami bez medzier a prekryvných vrstiev. Takéto výklenky sa nazývajú monoedralnymia podkladový polygón je protoplitkoy, Ako sme videli, i napriek zákazu používať dlaždice rôznych typov boli výsledné obrázky veľmi rozmanité. V mnohých prípadoch sa výklenky s týmto protoplitom ukážu ako nekonečne veľa, navyše – ich nespočetné množstvo. Zároveň je pre iné protoplyzy (ako napríklad pre pravidelný šesťuholník) obklad unikátny a niektoré protoplity neumožňujú vôbec dlažbu.

Bolo by prirodzené sa pýtať, ako v podobe daného polygónu pochopiť, či je možné dlaždice lietadla s jeho kópiami. Algoritmus, ktorý by umožnil odpovedať na túto otázku, keď dostal dlaždice pri vchode a na výstupu, ktorý dal výsledok "áno" alebo "nie", nie je pre ľudstvo známy. Okrem toho existujú vážne dôvody na pochybnosti, že existuje v zásade. Stručne budeme diskutovať o tom, čo by to mohlo narušiť. Preto bude užitočné aspoň oboznámiť sa so skupinou symetrií tilings.

symetria Táto dlažba sa nazýva taký pohyb roviny, ktorá premenuje túto dlažbu na seba. Zhruba povedané, keď ste sa dlho pozreli na nakláňanie, potom ste sa odvrátili,ale niekto za vašimi chrbtami presunul všetky dlaždice tak, že sa najprv zachovali vzdialenosti medzi dlaždicami a po druhé sa otočíte a rozdiel nie je možné nájsť – to je symetria. Ak medzi súbormi všetkých symetrií obkladov existujú dva neriadené paralelné preklady, potom sa táto dlažba nazýva periodický, Napríklad výkyvy na obr. 6, 7, 10 a 11, a dokonca všetky tingle, ktoré sme doteraz diskutovali. Avšak vo všetkých týchto príkladoch je ľahké usporiadať dlaždice tak, aby táto vlastnosť už nebola platná.

Pravidelné návnady sú charakterizované prítomnosťou tzv základnej oblasti – takú podmnožinu dlaždíc, že ​​všetky dlažby možno získať súbežnými prevodmi tejto podmnožiny (sú to len naše "pásma", ktoré boli uvedené v rozhodnutí). Preto sa pokúšame odpovedať na otázku, či je možné pripraviť celé lietadlo s kópiami tejto protoplicy, je dosť prirodzené konať takto. Je potrebné prejsť všetkými možnými možnosťami, spojiť sa s dlaždicami navzájom, a ak v určitom momente vznikla základná oblasť, potom je obklad.A ak uvádzame všetky možnosti, ale nenájdeme základnú oblasť, potom táto paradigma neumožňuje obkladanie.

Avšak táto metóda vyhľadávania má významnú nevýhodu. Náhle sa ukázala naša protoplica neperiodické, to znamená, že je možné pripraviť celú rovinu s jej kópiami, ale všetky tieto výkyvy sú neperiodické? Potom všetky spôsoby, ako sa spojiť s dlaždicami spolu, nikdy nebudeme prechádzať, pretože môžu pokryť časť ľubovoľne veľkej veľkosti. Nebudeme však môcť nájsť ani základnú oblasť, pretože neexistuje periodické nakláňanie. Prejdeme tak do nekonečna a nikdy neprestaneme.

Či už existujú aperiodické protoplity, v súčasnosti nie je známe pre určité – postulovať túto skutočnosť conway hypotéza ešte nie je dokázané. Takže stále existuje určitá pravdepodobnosť, že uvedený algoritmus nám umožňuje odpovedať na otázku, či je možné postaviť dlažbu na základe tohto protopitu alebo nie. Avšak v trojrozmernom priestore bola podobná hypotéza vyriešená pozitívne a tiež na Lobachevskom rovine. Navyše stojí za to zvýšiť počet použitých protopliek na dve, pretože okamžite objavíme príklad aperiodického súboru – slávnej mozaiky Penrose (obrázok 12).

Obr. 12. Penrose mozaika.Obrázok z ru.wikipedia.org

Ak nie je isté, či je vždy možné pochopiť z danej dlaždice, či pripúšťa dlažbu lietadla alebo nie, mali by ste sa pokúsiť zvážiť menej všeobecný prípad a uložiť akékoľvek obmedzenia na protoplicu. Predovšetkým predpokladáme, že všetky polygóny, ktoré vytvárajú obklady, sú konvexné. Táto podmienka sa ukázala ako pomerne silná: ukázalo sa, že počet strán konvexnej dlažby, ktorý pripúšťa dlažbu, nepresahuje 6. Aj tu však existujú vážne ťažkosti.

Obr. 13.

Je ľahké sa uistiť, že celá rovina môže byť pokrytá kópiami akéhokoľvek trojuholníka, ako aj kópie akéhokoľvek štvoruholníka – tu nie je potrebný ani konvexný stav (obrázok 13). Avšak s päťuholníkmi nie je všetko jednoduché. Štúdium monoedrálnych tilings pentagónov má bohatú históriu a dokonca ani teraz neexistuje úplná istota, že táto úloha našla svoj logický záver. Zdá sa, že prvý klasifikoval Carl Reinhard v roku 1918, pričom zdôraznil päť typov konvexných päťuholníkov (pozri obrázok 14). Každý typ bol charakterizovaný určitým súborom podmienok na stranách a rohoch, čo však zanechalo určitú slobodu – všetky tieto výkyvy boli "nepevné".O pol storočia neskôr, v roku 1968, Richard Kirchner informoval svet o objave troch ďalších typov tilings, tvrdiac, že ​​s týmito ôsmimi typmi je všetko vyčerpané. Nespravil sa však: v roku 1975 Richard James po prečítaní článku známeho propagátora vedy Martinom Gardnerom našiel iný typ. Ale skutočný prielom v nasledujúcich dvoch rokoch urobila žena v domácnosti Marjorie Riceová, ktorá čítal ten istý článok – dokázala nájsť až štyri nové typy monoedrálnych tilings s konvexnými päťuholníkmi.

Obr. 14. 15 monoedrálnych talísk roviny päťuholníkmi. Obrázok z forbes.com

Príbeh sa však neskončil: štrnásty chodník bol nájdený Rolfom Steinom v roku 1985 – na rozdiel od všetkých predchádzajúcich, bol to "tvrdý". A o tridsať rokov neskôr skupina výskumníkov pozostávajúca z Casey Mann, Jeniffer MacLeod a David von Durey pomocou počítačových výpočtov objavila pätnástú chodník, ktorá tiež nemala dostatok slobody. Napokon, v roku 2017, Michael Rao predložil dôkaz, že neexistujú žiadne ďalšie päťuholníky. Aby však dokázal, použil Rao špeciálne písaný počítačový program, ktorý v časti vedeckej komunity spôsobil určitý skepticizmus, hoci bol samostatne reprodukovaný a overený.

Ďalší prístup k klasifikácii monoedrálnych talísk je založený na skutočnosti, že sa zameriavame na vlastnosti dlaždíc vo vzťahu k skupine symetrie. Ak pre akékoľvek dve dlaždice v dlažbe existuje symetria, ktorá odoberá prvú dlažbu na druhú, potom sa nazýva taká dlažba isohedral, Všeobecnejšie, hovoríme, že hromadenie k-isohedralak sa rozdelí sada jeho dlaždíc k tried pod pôsobením skupiny symetrie. Napríklad výkyvy na obr. 13 sú izohedrálne, pretože každá dlaždica môže byť premenená na inú buď paralelným prenosom (takéto dlaždice sú namaľované v jednej farbe), alebo otáčaním (také dlaždice sú namaľované rôznymi farbami). A dlažba na ryži. 11 je už 2-izohedrálne: dlaždice lakované žltou sa môžu premeniť na seba tak, aby sa dlaždice samozložili, rovnako ako modré dlaždice môžu byť preložené navzájom, ale modrá taška sa nedá preložiť do žltej. Ostatné tilings, ktoré sme videli v riešení sú tiež k-isoedrické pre iné k, Ak to chceme vidieť, prepracujeme ich tak, aby sa dlaždice dali do seba preložiť symetriou obkladov potom a len akkeď sú namaľované v jednej farbe (ako to bolo s dlažbou stavu, ktorý, ako teraz chápeme, je 3-izohedrický). Keď to urobíme, vidíme to pre jedného z nich k = 8 (obrázok 15, vľavo), pre druhý k = 16 (obrázok 15, vpravo) a pre tretie k = 10 (obrázok 15 nižšie).

Obr. 15.

Môže sa klasifikovať izoelektrické talírenie konvexnými polygónmi. Takže všetko je k dispozícii:

  • 14 izotermických dlaždíc trolejových dlaždíc,
  • 56 izotermické obklady s konvexnými štvorhrannými dlaždicami,
  • 24 izohedrálne obklady vyklenutými päťuholníkovými dlaždicami,
  • 13 izohedrálne obklady s konvexnými šesťhrannými dlaždicami.

V zásade sú "nepevné" (ako na obkladoch znázornených na obrázku 13). Ale niektoré z nich počas deformácie prestali byť izohedrálne. Napríklad je to dlažba na ryži 16: môžeme posúvať horizontálne pruhy navzájom, ale potom trojúhelník s vodorovnou základňou nemožno premeniť na trojuholník so základňou naklonenou symetriou.

Obr. 16.

Klasifikovať k– izoedrické talíry s k > 1 je tiež možné. Avšak, rovnako ako pre vyklenutie s nekonvecnými dlaždicami, je to oveľa komplikovanejšie a už v prípade 2-izohedrických talísk je ťažké vidieť kvôli obrovskému počtu možností rozvetvenia. A o veľkých hodnotách k nebudeme ani hovoriť.


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: