Tri v jednom • Evgeny Epifanov • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • Matematika

Tri v jednom

úloha

Koľko spôsobov môžete nakrájať štvorec do troch obdĺžnikov, z ktorých každý je podobný druhým? Pripomeňme si, že dva obdĺžniky sú podobné, ak sa strany prvého vzťahu navzájom vzťahujú rovnako ako strany druhého. Spôsoby, ktoré sa líšia iba v rotácii alebo odrazení štvorca, sa počítajú ako jedna.


pomôcť

Tri obdĺžniky nie sú veľa, takže môžete triediť prípady ich umiestnenia na námestí a skontrolovať, či obdĺžniky môžu byť v každom prípade podobné.


rozhodnutie

Ak mierne nakreslíte rozdelenia štvorca do troch obdĺžnikov, aby ste pochopili, ako sa dajú vôbec umiestniť, potom môžete rýchlo dospieť k záveru, že existujú iba dva rôzne prípady (až do zákruty štvorca). Skutočne, tri alebo dva obdĺžniky môžu priliehať k hornej strane štvorca. Ak sú tri z nich, konfigurácia zobrazená na obr. 1 vľavo. Ak sú dve, potom – konfigurácia uvedená na obrázku vpravo. Ak je k hornej strane priľahlý iba jeden obdĺžnik, ďalšie dva sú umiestnené pod ňou a ich spoločná strana je buď horizontálna (a potom je to isté ako prvá konfigurácia), alebo vertikálna (potom je to isté ako druhá konfigurácia).

Obr. 1.

Pri prvom usporiadaní je okamžite jasné, že všetky tri obdĺžniky sú navzájom rovné: za podmienky, že musia byť podobné, ale z usporiadania sa ukazuje, že sú rovnakéodobré strany.

Porozumieme druhej konfigurácii. Zvážime to orientácia obdĺžnik je smer jeho dlhšej strany (je zrejmé, že máme len predĺžené obdĺžniky, ktoré majú jednu stranu dlhšiu ako druhú). Ako možno orientovať obidva najväčšie obdĺžniky?

Nemôžu byť vertikálne (ako na obrázku 1), pretože potom budú rovnaké (boveľké strany sú rovnaké), a preto pomer väčšej strany k menšej je menší ako 2 (pretože menšia strana sa rovná polovici strany štvorca a väčšia je nie väčšia ako celá strana štvorca). A na dolnom obdĺžniku tento pomer bude väčší ako 2. Preto to nemôže byť podobné vyššiemu.

Môžu byť horizontálne (obrázok 2, vľavo). Potom sú obidva horné obdĺžniky opäť rovnaké a je ľahké vypočítať, že aby všetky tri obdĺžniky boli podobné, je potrebné, aby strany každej navzájom ošetrovali ako 3: 2.

Obr. 2.

Nakoniec, môže byť jeden z horných obdĺžnikov horizontálny a druhý vertikálny? Pozrite sa na to. Táto situácia je znázornená na obrázku 2 vpravo.Označujeme zápis ako toto číslo. Vzhľadom na podobnosť obdĺžnikov nájdeme:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Keďže strany námestia sú rovnaké, dostaneme rovnosť:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Pravá rovnosť vám umožňuje vyjadriť y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

po ktorej sa rovnica získa z ľavej rovnice

\ \ \ dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x.

Môže sa prepísať ako

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \

Táto kubická rovnica má jeden skutočný koreň \ (\ rho \ approx1 {, 3247 \ ldots \), takže tento prípad je realizovaný. Takže existujú tri spôsoby, ako nakresliť štvorec do podobných obdĺžnikov.


Doslov

Vzhľadom na to, že sú vzorce pre presné riešenia známe pre kubické rovnice, možno si byť istí, že existuje koreň a je to jedna. V radikáloch je toto číslo napísané ako:

\ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \ r \

Môže byť tiež napísaný vo forme nekonečnej série radikálov, ktoré sú navzájom spojené:

\ rt = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \

Zaujímavé je, že toto číslo má svoje vlastné "meno": holandský architekt (a čiastočný mních) Hans van der Laan ho nazval plastové číslo (plastové číslo). Van der Laan nevytvoril veľa budov a väčšinou to boli kostoly, ale jeho teoretická práca mala určitú váhu. Predovšetkým vyvinul teóriu harmonických vzťahov medzi prvkami budovy,v ktorom plastové číslo zohralo ústrednú úlohu.

Obr. 3. Budovy navrhnuté Hansom van der Laanom. Vľavo: Benediktínsky kláštor v Tumell, Švédsko. Vpravo: interiér opátstva v Maastrichte v Holandsku. Fotografie zo stránky divisare.com

Takýto názov v jeho myšlienke odrážal skutočnosť, že tomuto číslu môže byť daný geometrický "tvar". Jeden príklad takejto formy sme narazili na problém. Ďalší príklad vzniká nasledovne. Predpokladajme, že existuje neobmedzená dodávka krabičiek (obdĺžnikové rovnobežky) rôznych veľkostí s celými dĺžkami strán. Začneme s rámčekom 1 × 1 × 1 a priložíme ďalší takýto box na stranu krabice – dostaneme 2 × 1 × 1 box. Pripojíme sa k nej pred tým, než dostaneme krabicu s rozmermi 2 × 2 × 1. Pripojte 2 × 2 × 2 pole do spodnej strany a vytvorte 2 × 2 × 3 box. Potom musíte pokračovať takto: stlačte nové striedavo striedavo zo strany, prednej a spodnej strany a vyberte ich veľkosť tak, aby sa zhodovali s dvomi rozmermi (to sú rozmery tváre, ku ktorým je pripojené ďalšie pole) zhoda s meraniami aktuálneho poľa a tretia dimenzia je to, čo sa zmenilo meranie dvoch "pohybov" predtým. Prvé kroky sú znázornené na obrázku 4.Napríklad piaty "pohyb" vpravo je políčko 2 × 2 × 3 a jeho "dĺžka" (meranie pozdĺž šípok na tomto obrázku) je 2, pretože dva pohyby predtým, ako sa stane, že "šírka" je 2 (to je pravé pole v hornom riadku).

Obr. 4. Vytvorenie "plastovej" škatule. Obrázok z článku V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Smerom k van der Laanovi číslo z plastu v lietadle

Ak budete pokračovať v tomto procese, veľkosť krabičiek sa prirodzene zvýši. Avšak vzťahy ich strán ("susedné" na dĺžku, ako je znázornené na obr. 4) budú mať tendenciu k obmedzenému limitu, čo je číslo plastov.

Myšlienka zdôvodnenia je nasledovná. Všimnite si, že veľkosti krabičiek sú triplemi priľahlých čísel zo sekvencie 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … Ak označujeme nčlenom tejto sekvencie Pnpotom na n > 3 má rovnosť Pn = Pn−2 + Pn−3, Presnejšie, tento vzťah lineárnej recidívy definuje túto sekvenciu, ktorá sa nazýva Padovan sekvencia. Ukazuje sa, že je možné vyjadriť bežný termín opakujúcej sa sekvencie cez korene svojho charakteristického polynómu. Pre tieto odkazy sa môžete dozvedieť viac o tejto téme, teraz je dôležité, že pre túto sekvenciu je charakteristický polynóm: \ (x ^ 3-x-1 \) a jeho skutočný koreň, ako vieme, je plastové číslo ρ, Preto, mimochodom, poradie právomocí tohto čísla je 1, ρ, ρ2, ρ3, … vyhovuje rovnakému vzťahu opakovania (toto pozorovanie skutočne vedie k metóde vyjadrenia pojmu sekvencie cez korene polynómu). Tento polynóm má dva zložité korene. Ak sú označené symbolom q a s, potom s niektorými konštantami , b, C rovnosť Pn = n + bqn + skn bude pravda so všetkými prírodnými n, Ale pretože zložité korene q a s modulo menšie ako 1, ich stupne majú tendenciu k nule s rastom n.

V tomto zmysle je plastové číslo pre sekvenciu Padovan rovnaké ako druhé (a oveľa známejšie) "architektonické" číslo – zlatý úsek – pre sekvenciu Fibonacciho (a strieborná časť pre čísla Pell).

Ďalšie informácie o vlastnostiach plastových čísel nájdete v článku V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Smerom k van der Laanovi, číslo plastov v lietadle.


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: