Teória skupín je veda dokonalosti. Skupinové axiómy

Teória skupiny – veda excelentnosti

Evgeny Vdovin

  • úvod
  • Niektoré počiatočné definície a notácie
  • Skupinové axiómy
  • Skupinové príklady
  • záver

Skupinové axiómy

V tejto časti sa končí text, ktorý nezačína , Nasledujúce dva odseky sú posledné odseky, pre ktoré nie je potrebné vykonať osobitné úsilie.

Zoberme do úvahy to isté kino krajského mesta N a predpokladajme, že na jednom zo zasadnutí bol názor divákov, aby zabezpečili výmenu lístkov podľa nejakého pravidla. Napríklad prvé miesto každého riadku sa mení s druhým, tretím s štvrtým atď. V dôsledku toho všetci zostanú na jednej strane "svojím vlastným" – každý má lístok a na druhej strane všetci dokázali zmeniť svoje miesto. Ak teraz vymieňame podľa iného pravidla, potom tretí, potom výsledok – každý má presne jeden lístok – sa nezmení. V tomto prípade sa poradie pristátia môže výrazne zmeniť v porovnaní s počiatočným. Preto sú takéto transformácie symetriami mnohých miest (alebo presnejšie mnohých divákov) a bez ohľadu na to, koľkokrát ich vykonávame, hlavná vlastnosť, ktorú každý divák má presne jeden lístok, sa nezmení.Ak sa postupné vykonanie výmeny lístkov nazýva "násobenie" (hoci je veľmi vzdialené od skutočného množenia, na ktoré sme všetci zvyknutí), potom súbor všetkých výmen s takýmto "násobením" tvorí veľmi dôležitú algebraickú štruktúru – skupinu. Všeobecne platí, že každá skupina je sústavou symetrie objektu (množiny), na ktorom je znázornené násobenie, rovnako ako to bolo vykonané s výmenami lístkov – postupné vykonávanie.

Preto je symetrická skupina objektu väčšia, tým je väčšia symetria. Pripomínajúc, že ​​čím viac symetrií, tým dokonalý objekt, dostaneme, že veľkosť skupiny symetrií hrá úlohu meradla dokonalosti určitého objektu. Zvážte pravidelné tvary v rovine: trojuholník, štvorec, šesťuholník a kruh. Sú to všetky symetrické postavy, ale sú rôzne symetrické. Takže trojuholník má iba šesť symetrií: rotaciu okolo stredu hmoty (priesečník mediánov) v uhle, ktorý je násobkom 120 stupňov (takýchto otočení 3), a odrazom v porovnaní s ktoroukoľvek jeho strednou hodnotou (tam sú aj 3 také odrazy). Námestie má už osem symetrií: otočenie okolo stredu (priesečník uhlopriečok) pod uhlom, ktorý je násobkom 90 stupňov (existujú už 4 takéto otáčky)a tiež symetria s ohľadom na ľubovoľnú uhlopriečku (sú tu dve) a akúkoľvek priamku spájajúcu stredové body protiľahlých strán štvorca (existujú aj dve z nich). Šesťuholník už má 12 symetrií (ponúkame čitateľovi, aby ich všetky uviedol) a kružnica symetrií má nekonečné číslo – to je obrat v akomkoľvek uhle a symetria vzhľadom k akejkoľvek priamke prechádzajúcej stredom kruhu. Takže najviac dokonalá postava je kruh, potom šesťuholník, za ktorým nasleduje štvorec a najmenej dokonalá postava je trojuholník.

do konca

nechať G – ľubovoľný súbor a predpokladajme, že je daný nejaký binárny (dvojitý, z dvoch argumentov) operácie "·", zvyčajne nazývaná násobenímktoré pre akékoľvek dva prvky , b z tejto množiny sa s nimi jednoznačne spája prvok označený symbolom · b alebo len ab, S týmto prvkom ab vyzvala výrobku element a b, Ak sú dodatočne splnené tieto tri podmienky (tzv skupinové axiómy):

(Tr1)
pre všetky tri , b, C z G skutočná rovnosť (ab)C = (bc) (zákon asociativity);

(GR2)
existuje takýto prvok eto pre každú položku z G skutočná rovnosť ae = ea = (existencia jednotky); takýto prvok e vyzvala o jednu skupina;

(GR3)
pre každú položku z G existuje takýto prvok bto je skutočná rovnosť ab = ba = e (existencia spätného chodu); takýto prvok b vyzvala inverzné pre a označuje ho -1;

potom veľa G vzhľadom na formy multiplikácie skupiny, Ak je splnená ešte jedna axióm:

(GR4)
pre akékoľvek položky , b z G skutočná rovnosť ab = ba (zákon o komutativite),

potom sa volá skupina komutatívne alebo abelian, Príklady rôznych skupín, ako aj prirodzené situácie, v ktorých sa objavujú skupiny, uvádzame nižšie. Zrejmé príklady sú množina čísel pridaním, množina nenulových racionálnych čísel násobením atď. Poznamenávame niekoľko jednoduchých dôsledkov skupinových axiómov: jednotkový prvok a inverzný prvok sú jednoznačne určené. Predpokladajme, že existujú dva prvky jednotky e1, e2, potom aplikácia axiómu (GR2) nám dáva nasledujúci reťaz rovníc e1 = e1e2 = e2, Podobne, ak je to pre niektoré prvky tam sú dve inverzné b1, b2, potom pomocou axiómov (GR1) – (GR3) získame nasledujúci reťaz rovníc b1 = b1e = b1(ab2) = (b1)b2 = ieb2 = b2.

ak M – ľubovoľná podmnožina skupiny Gpotom môžeme zvážiť násobenie operácie na súprave M, čo je mapovanie: M × MG, Prevádzka na sade M zavoláme indukovaný Prevádzka. podmnožina H skupiny G vyzvala podskupinaak je to sama skupina vo vzťahu k indukovanej operácii. Je ľahké overiť, či podmnožina je podskupina, ak je uzavretá vzhľadom na produkt (t. J. Pre akékoľvek dve hod1, hod2 H prvku hod1 · hod2 opäť leží v H) a je uzavretá vzhľadom na prevzatie spätného chodu (t.j. pre akékoľvek hod H prvku hod-1 opäť leží v H). Stručne je to napísané ako HH H a H-1 H, Ďalšie vyhlásenie "H je podskupina skupiny G"Budeme písať krátko takto HG.

nechať G je ľubovoľná skupina H – jej podskupiny a g – ľubovoľný prvok skupiny G, Veľa Hg = {hg | hod H} So nazýva priľahlých tried (pravá susedná trieda) g, Predstavujeme vzťah g1g2 (mod H) na množine prvkov skupiny G podľa pravidla: g1g2 (mod H) v tom a len ak Hg1 = Hg2, Použitie zápisu podobného pomeru deliteľnosti pre celé čísla (pozri vyššie) nie je náhodný, pretože vzťah deliteľnosti je zvláštnym prípadom rovnosti priľahlých tried. Ako skupina G je súbor vykonaný celé čísla pridaním a ako podskupina H je prijatá podmnožina k čísla, ktoré sú deliteľné k, Je zrejmé, že vzťah, ktorý sme definovali, je rovnocennosť, súbor tried ekvivalencie je označený ako G / Hmoc |G / H| súbor tried ekvivalencie je tiež označený akoG : H| a nazýva sa podľa indexu podskupiny H v skupine G, Samozrejme, pre každého g G veľtrh |Hg| = |Hkde sa okamžite dostaneme dôležité Lagrangeova veta: |G| = |G : H| · |H, najmä poradie podskupiny vždy rozdeľuje poradie skupiny.

Na sadu G / H Môžete prirodzene definovať násobenie: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2, Aby definícia bola správna, t.j. rovnosť súborov Hg1 · Hg2 = {hod1g1 · hod2g2 | hod1, hod2 H} a Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | hod H}, je potrebné a postačujúce, že pre akékoľvek g G rovnosť bola splnená g-1Hg = {g-1hg = hod | hod H} = H (táto podmienka ohlásime HG H). vyjadrenie g-1Hg vyzvala časovanie pomocou prvku g a často označované Hg, vyjadrenie skleníkových plynov-1 = Hg-1 budeme zaznamenávať gH, podskupina Hsplnenie podmienky HG HTo je nazývané normálne podskupiny skupiny G (označené ako H G) a výslednú skupinu G / H vyzvala skupina faktorov skupiny G podskupinou H, Pojmy normálnej podskupiny a skupiny faktorov patria medzi najdôležitejšie skupiny v teórii, pretože umožňujú čiastočné obmedzenie štúdia skupín na menšie skupiny (čiastočne, pretože podľa H a G / H skupiny G stanovené nejednoznačne). Zobrazí sa skupina, ktorá neobsahuje normálne podskupiny prostý.

Samozrejme, priesečník ktoréhokoľvek počtu podskupín je opäť podskupinou. To nám umožňuje určiť podskupina generovaná spoločnosťou M, ako najmenšia podskupina obsahujúca podmnožinu Mt.j. priesečníkom všetkých podskupín skupiny Gktoré obsahujú veľa M, Podskupina generovaná súborom Mbudú označené M, Je to jednoduché M je súbor všetkých druhov výrobkov z prvkov M a späť k nim. Skupina vytvorená jedným prvkom vyzvala cyklickýa jej príkaz || : = || vyzvala v poriadku element , Je jednoduché skontrolovať, či je poradie prvku najmenšie. npre ktoré je e, Z vety Lagrange vyplýva, že poradie prvku vždy rozdeľuje poradie skupiny.

Na konci tejto časti prezentujeme koncept izomorfizmu skupín. ak G, H – skupina a potom mapovanie φ : GHzachovanie prevádzky (t.j. pre všetkých g1, g2 G urobené (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) homomorphism, nastavte Ker (φ) = {g G | = e} So nazýva jadro homomorfizmu, a mnoho = { | g G} So nazýva obraz homomorfismy, Ak Ker (φ) = {e} a = Ht.j. ak φ je bijekcia, potom mapovanie φ vyzvala izomorfizmusa skupín G a H izomorfná (označená ako G H). Veta homomorfizmu to uvádza H = Ker (φ) – podskupina normálnej skupiny G a G / H, Izomorfizmus možno považovať za samého seba ako "podobnosť" dvoch skupín, ktoré medzi nimi nerozlišujeme (aj keď v skutočnosti môžu byť odlišné súbory). Teda teória, prísne povedané, skúma triedy izomorfizmu skupín. Všimnite si, že v každodennom živote často vytvárame izomorfizmy viac či menej vysokej úrovne abstrakcie. Existuje napríklad trieda nábytku izomorfizmu, nazývaná pojem "šatník", a my niektorými znakmi nepochybne určujeme, či daný objekt patrí do "šatníkov", alebo nie. Keď nám chýba taká vysoká úroveň abstrakcie, zostupujeme na nižšiu úroveň a začneme rozdeľovať skrine na "kuchyňu", "knihu", "šatník" atď.Koncept izomorfizmu pre skupiny je len nástrojom, s ktorým na našej úrovni abstrakcie rozlišujeme alebo identifikujeme predmety.


Like this post? Please share to your friends:
Teória skupiny – veda excelentnosti ">
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: