Teória skupín je veda dokonalosti. Skupinové príklady

Teória skupín – veda excelentnosti

Evgeny Vdovin

  • úvod
  • Niektoré počiatočné definície a notácie
  • Skupinové axiómy
  • Skupinové príklady
  • záver

Skupinové príklady

Príklady skupín, ktoré sú nám známe zo základnej školy, sú celé čísla, racionálne, skutočné, zložité čísla pridaním, nenulovými racionálnymi, skutočnými, komplexnými číslami násobením. Všetky tieto skupiny sú abelské. Ďalším dôležitým príkladom skupín je nasledujúca konštrukcia. nechať X – ľubovoľná sada a symX – súbor všetkých druhov bijekcií sady X na seba. Nastavte násobenie podľa funkcie SymX ako zloženie. Potom symX čo sa týka fungovania kompozície je skupina a je nazývaná symetrickú skupinu na súprave X alebo substitučnej skupiny (niekedy sa používa aj termín permutačná skupina, ale zdá sa nám to neúspešné, viac o tom nižšie). Ak je veľa X samozrejme aX| = npotom to môžeme predpokladať X = {1, … , n} a symX označené symn, Ak Ψ je vlastnosť mapovania, ktorá je zachovaná v kompozícii, potom podmnožina mapovania uspokojujúca vlastnosť Ψ skupiny SymX tvorí podskupinu skupiny symX, Ukazujeme, že zloženie mapovania vyhovuje axiómu asociativity (ГР1) (kontrola ostatných axióm je oveľa jednoduchšia, vyplýva z definície bijekcie).Aby bolo možné dokázať, že zloženie máp je asociatívne, je potrebné najprv pochopiť, kedy sú mapy rovnaké. Napriek jasnej definícii to často spôsobuje ťažkosti. zobraziť φ : B a ψ : B (kde , B – ľubovoľné súbory) sú rovnaké, ak sú pre akékoľvek x jeho obrázky a sú rovnaké. Teraz nechajte φ, ψ, χ symX a x X, potom x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χna druhej strane x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χčo dokazuje asociativitu kompozície.

Tento príklad vám nielen umožňuje vybudovať veľké množstvo rôznych skupín (uvidíme, že všetky skupiny nižšie), ale tiež ukazuje širokú škálu aplikácií teórie skupín. Kdekoľvek tam je aspoň nejaká symetria (tj bijekcia), okamžite vznikajú skupiny. Problémy konštrukcie pomocou kompasu a pravítka, solvabilita algebraických rovníc v radikáloch, diferenciálne rovnice v primitívnych atď., Sú prirodzene redukované na problémy v teórii skupín. Rôzne kombinačné problémy sú redukované na počítanie objektov uspokojujúcich určité vlastnosti a opäť do teórie skupín.

ak G – skupina X – nastavenie a daný homomorfizmus φ : G → SymXpotom povedzte skupinu G pôsobí na množinu X, Ak Ker (φ) = {e}, akcia sa volá presný, Na "uľahčenie" notácie budeme identifikovať g s jeho obrazom a pre svojvoľné x X jeho obraz je relatívne bude zaznamenávať xg, Zavádzame ekvivalentný vzťah X podľa pravidla: prvky x, y X ak sú takéto g Gže xg = y, Triedy ekvivalencie sa volajú orbity skupiny G, Hovorí sa, že skupina G koná prechodne (a prezentácia je tranzitívne), ak existuje iba jedna obežná dráha. homomorphism φ : G → SymX vyzvala zástupné znaky skupiny G (práve z dôvodu pojmu "permutačná reprezentácia" sa termín "permutačná skupina" považuje za neúspešný, pretože pojem "permutačná reprezentácia" má iný význam). Ak Ker (φ) = {e} sa zobrazí výzva na prezentáciu presný.

Zvážte teraz ľubovoľnú skupinu. G a jej podskupiny H, skupina G pôsobí na množinu priľahlých tried v podskupine H vynásobením vpravo: (Hg1)g2 = H(g1g2). Existuje teda tranzitívna reprezentácia φ : G → SymG / H, ak H neobsahuje žiadne normálne podskupiny skupiny Gpotom je táto prezentácia presná. Najmä ak H = {eprezentácie G → SymG/ % = SymG vždy presné a volané pravidelný skupinová prezentácia G, Preto môže byť akákoľvek skupina považovaná za skupinu substitúcií. Ukazuje sa, že každá tranzitívna reprezentácia skupiny G sa môže dostať týmto spôsobom.


Ak chcete pochopiť nasledujúci text, musíte mať vedomosti o univerzitnej algebre

Nasledujúci príklad skupín vzniká z vektorových priestorov. nechať V – vektorový priestor nad poľom F (Nebudem dať definíciu vektorového priestoru a poľa, príklad vektorového priestoru je rovina a príklad poľa je súbor racionálnych čísel vzhľadom na pridanie a násobenie). Súbor nedegenerovaných lineárnych transformácií vektorového priestoru V tvorí skupinu a nazýva sa všeobecná lineárna skupina (označené GL (V)). Je ľahké skontrolovať, či sú vektorové priestory rovnakej dimenzie n nad tým istým poľom je izomorfná na priestor reťazcov dĺžky n, a množina nedegenerovaných lineárnych transformácií sa zhoduje so súborom nedegenerovaných matíc. V tomto prípade je všeobecná lineárna skupina písaná ako GLn(F).V skutočnosti tento príklad nie je striktne nový, pretože GL (V) ≤ SymV, Avšak význam tejto triedy skupín v dôsledku jej výberu v samostatnom príklade. homomorphism φ : G → GLn(F) lineárne zobrazenie skupiny G cez pole F stupňa na priestor V vyzvala G-modul, Skupina symetrie lopty, ktorá bola spomenutá v úvode, sa zhoduje so skupinou všetkých lineárnych transformácií trojrozmerného priestoru, ktoré zachovávajú dĺžku vektorov, ktoré sa nazývajú spoločná ortogonálna skupina.


Tretí príklad skupín vzniká nasledujúcim spôsobom. nechať X = {x1, x2, …} je nejaká abeceda (konečná alebo nekonečná). Vyplňte ho formálnymi symbolmi. X-1 = {x1-1, x2-1, …} a zvážte súbor slov v abecede X X-1, Predstavujeme transformácie:

(1)
vymazanie znakov xjaxja-1 alebo xja-1xja;

(2)
pridať do akéhokoľvek miesta slová xjaxja-1 alebo xja-1xja.

Dve slová u, proti voláme ekvivalent, ak existuje reťaz transformácií typu (1) alebo (2), ktoré prekladajú jedno slovo do iného. Na množine tried ekvivalencie definujeme operáciu násobenia priradením jedného slova ku koncu druhej. Potom dostaneme skupinu s názvom free group a označí sa F[X] a prvky tejto skupiny sa nazývajú slovami, Univerzálnosť tejto konštrukcie robí voľné skupiny nevyhnutné pre štúdium formálnych jazykov (napríklad programovacích jazykov), ako aj rôzne iné úlohy od teórie kódovania, rozpoznávania atď. Termín "slobodný" je spôsobený skutočnosťou, že ak máme ľubovoľnú skupinu G a existuje taká podmnožina Mže M = Gpotom môžeme zvážiť veľa slov X s podmienkouX| = |M| a potom existuje homomorfizmus φ : F[X] → G, Jadro homomorfizmu Ker (φ) generované niektorými slovami R a skupinové nahrávanie G v podobe G = < X|R > zavolal úloha skupiny definovať a vytvárať vzťahy, Možno je to najabstraktnejší spôsob, ako priradiť skupinu, a teda najťažšie. Nebudeme tu dávať príklady skupín definovaných týmto spôsobom.


Like this post? Please share to your friends:
Teória skupín – veda excelentnosti ">
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: