Teória skupín je veda dokonalosti. Niektoré počiatočné definície a notácie

Teória skupín – veda excelentnosti

Evgeny Vdovin

  • úvod
  • Niektoré počiatočné definície a notácie
  • Skupinové axiómy
  • Skupinové príklady
  • záver

Niektoré počiatočné definície a notácie

Pokúsime sa použiť čo najmenej vzorcov a špeciálnych matematických symbolov, ale bez nich nemôžeme robiť úplne. Súpravy budú spravidla označené latinskými písmenami a ich prvky – malými písmenami. ak – veľa a – nejaký prvok, potom záznam by mal čítať "prvok patrí mnohým ", resp znamená "prvok nepatrí do súpravy „.

Pripomeňme si, že koncepty súboru, elementu a členstva sú základné nedefinované koncepty modernej matematiky. Každá sada je určená prvkami, ktoré sú v ňom zahrnuté (čo môže byť tiež sada). Takže hovoríme, že súbor je určená alebo špecifikovanýak pre akýkoľvek prvok môžeme povedať, či patrí k tejto zostave alebo nie. Pre dve sady , B záznam B , B , B, B , B \ , × B zodpovedajúcim spôsobom B je podskupina množiny (t. j. ktorákoľvek položka z B tiež obsiahnuté v napríklad množina prirodzených čísel je obsiahnutá v súbore reálnych čísel; okrem toho vždy ), B je správna podmnožina súboru (M. E. B a B), priesečník súborov B a (t.j. všetky takéto prvky, ktoré súčasne ležia a v B, napríklad priesečník celých čísel a kladné reálne čísla je súbor prirodzených čísel), spojenie súborov B a (t.j. súbor pozostávajúci z prvkov, ktoré ležia buď v buď v B), nastavte rozdiel B a (t.j. súbor prvkov, ktoré ležia v Bale nie ležať ), Karteziánsky produkt súprav a B (t.j. súbor dvojíc formy (, b) kde , b B). Prostredníctvom| vždy označované energie súpravy t.j. počet prvkov v súbore , Definície sú vždy zvýraznené. v kurzíve.

Nemôžeme to robiť bez konceptov mapovania, vzťahov a rovnocennosti. Nebudeme poskytovať prísne logické definície týchto pojmov, budeme im vysvetľovať len. zobraziť môže byť považovaná za funkciu spojujúcu jeden prvok (tzv prototyp) iný prvok (tzv spôsob). V živote sme neustále konfrontovaní s konceptom zobrazovania, napríklad kupovaním divadelného lístku, čím sme nastavili zobrazenie medzi lístkom a nejakým miestom v divadle. Keď dostaneme plat, vytvoríme mapovanie medzi prácou vykonanou v priebehu mesiaca a peniazmi, ktoré sa za to platia. Preštudovaním zoznamov hráčov futbalových tímov vytvoríme mapovanie medzi hráčmi a tímami, pre ktoré hrajú. Existuje teda veľa mapovania, takmer všetko v našom živote je v jednom alebo inom spôsobe mapovania. Existujú rôzne typy špeciálnych mapovania, potom sa v texte použijú nasledujúce 3 typy: injektívne mapovanie (injekcie), surjektívne mapovanie (surjection) a bijektívnym mapovaním (bijection). Injekčné mapovanie je mapovanie, ktoré mapuje rôzne obrazy na rôzne zdrojové prvky. Surjektívne mapovanie je mapovanie, v ktorom každý obrázok má prototyp. Nakoniec, bijektívne mapovanie je mapovanie, ktoré je tak injektívne, ako aj surjektívne.

Vysvetliť tieto pojmy príkladom mapovania medzi množstvom vstupeniek a množstvom kresiel v divadle.Predstavte si kino v krajskom meste N, v ktorom štít a meč ide tisíckrát. Prirodzene, existuje len málo ľudí, ktorí ho chcú vidieť a je tu len jeden pár, ktorý má dve lístky v "Kiss Line". Po príchode do kina spája dvojica s radosťou, že sú tu sama, ale ako vzdelaní ľudia si berú svoje miesta uvedené v lístkoch. V tomto prípade je samozrejme mapovanie injektívne, pretože rôzne lístky zodpovedajú rôznym miestam. Ale to nie je surjective, pretože stále máme veľa prázdnych miest, pre ktoré sa nepredával ani jeden lístok. Neprejektívne mapovanie je teda pre kinematografiu jednoznačne nerentabilné.

Predstavte si teraz, že nasledujúci deň, v tom istom kine v tom istom meste, sľúbili, že začnú nový trhák z Tarantina a naznačili, že Tarantino sám po filme odpovie na otázky od publika. Búdzové kancelárie sú samozrejme plné ľudí a manažment "omylom" predáva dve súpravy lístkov na rovnaké miesta. Nebudeme tu popísať demontáž kvôli jednému miestu, ktoré sa uskutočnilo v relácii, ale len si všimneme, že displej je teraz surjektívny, keďže pre každé miesto sa predával lístok, ale nie injektívne, pretože pre každé miesto sú dve lístky.Neinjectívne mapovanie je teda v priamom rozpore s právami spotrebiteľov a pravdepodobne spadá pod niektorý článok zákona o ochrane práv spotrebiteľov.

No, posledný prípad, pozrite sa na rovnaké kino v meste N v predvečer 1. januára 2006. Veľmi propagovaný prvý film roka znova prináša verejnú agitáciu, ale teraz vedenie, vyučované predchádzajúcimi horkými skúsenosťami, starostlivo zaisťuje, že pre každú sekciu sa predáva presne jedna sada vstupeniek. V dôsledku toho každý divák pokojne zaujme svoje miesto a každé zasadnutie začína plným domom. Posledným príkladom je teda injekčný aj surjektívny odraz, teda bijekcia. V dôsledku toho je bijekcia zlatým priemerom, ktorý je pre riaditeľstvo čo najviac prospešný a zároveň čo najviac vyhovuje publiku. Tento koncept bijekcie bol práve matematickou formalizáciou intuitívneho konceptu symetrie, o ktorom sa diskutovalo v úvode. Preto nie je prekvapujúce, že v tomto prípade je to najviac dokonalé mapovanie.

zobraziť zo sady v prístroji B volajte nejaké pravidlo, pomocou ktorého, každý prvok môžete priradiť jednu položku z B, Mapovanie budeme zvyčajne označovať gréckymi písmenami a písať φ : Ba obraz ktoréhokoľvek prvku vzhľadom na zobrazenie φ je zaznamenaná , Takýto záznam sa zdá byť najprv nezvyčajný a nepohodlný pre tých, ktorí sú zvyknutí písať funkcie (špeciálny prípad mapovania) ako φ(), ale pre našu prezentáciu bude pohodlnejšie. Ak sú 3 sady , B, C a dané mapovania φ : B a ψ : BCpotom môžete vytvoriť mapovanie φψ : C ako zloženie (sekvenčné vykonávanie) mapovania φ a ψ, Všimnite si, že ak sme zaznamenali zobrazenie vľavo, zloženie φψ museli by sme čítať zľava v arabčine. V budúcnosti budeme potrebovať nasledujúce špeciálne typy máp: injekcie (display φ : B tzv. injekčné, ak je to pre iné x, y prvky , tiež odlišné) surjection (display φ : B nazývaný surjektívne, ak nie y B tam je taký x že = y), bijection (vstrekovanie a podanie v rovnakom čase). Príklady mapovania od racionálnych čísel po racionálne môžu byť mapovania: xx3, xx2, xx/ 2. Prvá je injektážna, ale nie surjektívna, druhá nie je surjektívna ani injekčná, tretia je bijekcia.

Ďalšou dôležitou koncepciou matematiky je koncept vzťahy, Postoj možno považovať za určité pravidlo, ktoré pre akékoľvek dva prvky (objekty, veci, živé bytosti atď.) Umožňuje určiť, či sú v tomto ohľade alebo nie. V našom živote neustále vstupujeme a v mnohých rozdielnych vzťahoch máme vôľu. Napríklad, pokiaľ ide o príbuzenstve (s rôznym stupňom intimity) o zamestnancov a zamestnávateľov, pokiaľ ide o vodiča, spolujazdca, medzi kupujúcim a predávajúcim, a tak ďalej .. Všetky tieto vzťahy sú rôzneho charakteru, rôznych vlastností a matematické štúdie je majetkových pomerov, nie starajú sa o ich povahu.

Hovoríme to na nejakom súbore špecifikovaný Rak pre akékoľvek dva prvky , b z môžeme povedať, či sú vo vzťahu R alebo nie. Inými slovami, postoj R existuje mapovanie R : × → {1, 0}, kde hodnota 1 zodpovedá "true" a hodnota 0 – "false" (všimnite si, že poradie, v ktorom sú elementy brané, je dôležité a b).Zvyčajne na označenie vzťahov použijeme špeciálne znaky ≡, ~, atď. Vzťah je pohodlne napísaný ako ~ bak a b sú vo vzťahu R a bak a b nie vo vzťahu R, Vzťah ~ na sadu vyzvala rovnocennosťouak sú splnené tieto axiómy:

(EKV1)
pre všetky hotový ~ (axióm reflexivity);

(EKV2)
pre všetky , b z z ~ b musí byť b ~ (axióm symetrie);

(EKV3)
pre všetky , b, C z z ~ b a b ~ C musí byť ~ C (axióm prechodnosti).

Príklady vzťahov sú pomer poradia ≥ na množine reálnych čísel, pomer deliteľnosti k množine celých čísel, vzťah rovnosti k súboru reálnych čísel, pomer rovnosti rezíduí z rozdelenia pevným prirodzeným číslom na súbor prirodzených čísel. Všimnite si, že prvé dva vzťahy nie sú rovnocenné a posledné dva sú. Pre posledný vzťah je špeciálny názov: celé čísla m, n sú nazývané porovnateľný modulo k (napísané ako mn (mod k)) ak nm rozdelená na k.

Ak je na sade vzhľadom na ekvivalentný vzťah, potom sa celá sada rozdelí triedy ekvivalencie – podmnožiny párových ekvivalentných prvkov a akékoľvek dve triedy sa nepretínajú ani nezhodujú. Skutočne, predpokladajme C1, C2 – dve triedy ekvivalencie a ich priesečník C1C2 nie je prázdny a obsahuje nejaký prvok x, Potom pre akýkoľvek prvok y C1, podľa definície triedy rovnocennosti x ~ y, Okrem toho pre všetky z C2, opäť podľa definície triedy ekvivalencie, spokojní z ~ x, Na základe prechodovej axiómy (podmienka (EKV3)) to máme y ~ zprostriedky C1 = C2, Súbor tried súborov rovnocennosťou ~ / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Teória skupín – veda excelentnosti ">
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: