Presné umiestnenie • Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • Matematika, fyzika

Presné polohovanie

úloha

Mnohí sú oboznámení so satelitnými navigačnými systémami. Najznámejšie – ruská GLONASS a americká GPS – sú teraz používané takmer všade v navigátoroch automobilov a smartphonoch. Vo všeobecnosti je prevádzka týchto systémov nasledovná. Skupina satelitov je koordinovaná pozemnými riadiacimi centrami tak, aby každý satelit "poznal" svoju pozíciu a synchronizoval čas na nich. Tieto satelity neustále prenášajú tieto údaje (priestorové súradnice a čas) na Zem a používateľské zariadenia ju berú a pokúsia sa vypočítať ich súradnice v reálnom čase.

Na základe takej zjednodušenej schémy mi to povedzte koľko ak by satelity museli "vidieť" prijímač užívateľa súčasne, aby sa presne (napríklad s chybou do 20 m) určila ich pozícia?


pomôcť

Úlohou prijímača je vypočítať jeho súradnice z dát pochádzajúcich zo satelitov. Súradnice sú tri priestorové premenné, takže je potrebný systém aspoň troch rovníc na ich určenie (to znamená, že sú potrebné údaje z najmenej troch satelitov). Premýšľajte o tom, ako možno tieto rovnice získať v rámci našej zjednodušenej situácie a z akého technického dôvodu tieto tri rovnice skutočne nestačia.


rozhodnutie

Takže prijímač užívateľa – povedzme navigátor – prijíma od každého satelitu signál s tromi priestorovými súradnicami satelitu a časom odoslania tohto signálu. Tieto údaje stačia na to, aby vyjadrili vzdialenosť od satelitu k navigátoru dvoma spôsobmi a získali potrebné rovnice.

Ak sú požadované súradnice navigátora (x, y, z) a satelitné súradnice (xs, ys, zs), potom, podľa Pythagorovej vety, vzdialenosť medzi nimi je

\ (\ sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

Signál zo satelitu sa šíri rýchlosťou svetla. s, takže ak bol vydaný v určitom okamihu T0, a momentálne dostal navigátor T1potom sa tá istá vzdialenosť rovná C(T1T0). Toto dáva rovnicu. Údaje z troch satelitov vám umožňujú vytvoriť systém troch rovníc pre tri neznáme (x, y, z). Čo je úlovok?

Skutočnosť, že neznáme nie sú v skutočnosti tri, ale štyri, pretože nemôžete počítať s vysokou presnosťou hodín v navigátore. Napríklad chyba desiatich tisíc percent – keď namiesto jednej sekundy hodiny merajú 1,000001 sekúnd a len asi dva a pol sekundy za mesiac – pri určovaní vzdialenosti od satelitu sa zobrazí chyba približne 20 metrov.V bežných hodinkách je presnosť zdvihu niekoľkonásobne nižšia a násobenie chyby sa zvyšuje. Preto je do výpočtov zavedený ďalší neznámy – chyba hodín prijímača. Z tohto dôvodu existuje potreba ďalšej rovnice, čo znamená, že musí existovať najmenej štyri satelity.


Doslov

V skutočne fungujúcich satelitných navigačných systémoch je všetko samozrejme oveľa komplikovanejšie. Výpočet súradníc navigátora v mnohých ohľadoch zohľadňuje mnoho faktorov, ktoré zavádzajú chyby pri určovaní presnej pozície: ide o problémy s určením polohy samotných satelitov, deformácie signálov zavedené atmosférou a dokonca aj relativistických účinkov. Podrobnú diskusiu o týchto problémoch nájdete v článku Analýza chýb pre systém globálneho určovania polohy, ako aj v literatúre, ktorá je v ňom uvedená.

Satelity GLONASS sa nachádzajú v kruhových dráhach s nadmorskou výškou 19.400 km. Teraz je v konštelácii 27 satelitov, z ktorých 24 sa používa na zamýšľaný účel (ďalšie dve sú v rezervnej a jedna je vo fáze testovania). Ako je zrejmé z obrázku, obežné dráhy satelitov sú rozdelené do troch rodín.

Obeh satelitov systému GLONASS (modré čiary). Samotné satelity sú označené červené bodky. Šedé bodky – iné satelity.Je vidieť, že Zem je zahalená v "oblaku" veľkého počtu satelitov blízkej zeme a pozerá sa aj na družici geostacionárnej obežnej dráhy. Obrázok z stuffin.space

Vzniká nasledujúca otázka: aký je minimálny počet satelitov potrebných na zabezpečenie úplného pokrytia Zeme a tak, aby boli kedykoľvek na povrchu viditeľné štyri satelity? Samozrejme, tu musíte urobiť hneď zjednodušenie, čím zmenite úlohu na čisto geometrickú (pravda, geometria je tu sférická): Zem sa má považovať za guľu, obežnice – kruhy, ktorých centrá sa zhodujú so stredom sféry, obiehajú z jednej rodiny – zhodujú sa. Je možné, bez použitia počítača, získať presný odhad minimálneho počtu satelitov?

Podľa výpočtov autorov problému by teoreticky mohlo stačiť 18 satelitov pre GLONASS. Ak sa čitateľ dostane pomerne jednoduchým spôsobom (a bez pomoci počítača) nižšieho hodnotenia, radi sa zoznámime. Všeobecne platí, že odôvodnenie je nasledovné. Nechajte šesť satelitov otočiť v pravidelných intervaloch pozdĺž rovníkovej dráhy s polomerom 25.800 km. Potom sa dá vypočítať, že pri zemepisných šírkach menej ako 60 ° sú vždy viditeľné aspoň dve satelity.

Satelit na takej obežnej dráhe možno vidieť zo sférického kruhu s polomerom

\ (\ alfa = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ cca75 {

kde R = 6400 km je polomer Zeme a rs = 25 800 km – polomer družicovej dráhy. Slovo "polomer" (a iné odkazy na dĺžky) ďalej znamená sférický polomer, to znamená uhlové meranie oblúka veľkého kruhu gule. Keď sú družice rovnomerne rozmiestnené na obežnej dráhe, centrá príslušných kruhov (oblasti viditeľnosti) sú na rovníku vzdialené 60 °. Ak nakreslíme tri takéto po sebe nasledujúce kruhy, je zrejmé, že nad stredom strednej je zóna, v ktorej je viditeľný iba jeden satelit. Dolný bod tejto zóny je bod priesečníka kruhov susediacich so stredom. Preto je maximálna zemepisná šírka zóny, z ktorej sú vždy viditeľné aspoň dve satelity, výška vrcholového guľového trojuholníka so stranami (2π / 3, α, α). Výšku možno nájsť pomocou Napierových vzorcov, pretože rozdeľuje tento trojuholník na dve rovnaké a tvorí pravý uhol s rovníkom.

Takže pre každú obežnú dráhu sú dve guľovité "čiapky" s polomerom menším ako 30 °, pričom nie sú vždy viditeľné aspoň dve satelity. Tri takéto "čiapky" sa dajú ľahko umiestniť na pologuli bez križovatiek: môžete sa vyrovnať pozdĺž veľkého kruhu prechádzajúceho tyčou.Nebudú plaziť cez hemisféru, pretože "riešenie" stredného uhla pre každý "kryt" je menšie ako 60 °, to znamená, že všetky tri "čiapky" zapadajú do 180 °. Akonáhle môžu byť takto umiestnené, zodpovedajúce tri dráhy so šiestimi družicami na každej z nich pokryjú celú Zem a z každého miesta na zemskom povrchu budú vždy viditeľné štyri družice. Koniec koncov, ak sme v "čiapke" patriacej k akejkoľvek obežnej dráhe, potom sme mimo dve ďalšie "čiapky" a na každej zodpovedajúcej obe obežnej dráhe vidíme vždy aspoň dva satelity.


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: