Najťažší biely trpaslík • Hayk Hakobyan • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • Astronómia

Najťažší biely trpaslík

Na konci svojej životnej cesty hlavné sekvenčné hviezdy vyčerpajú väčšinu svojho prívodu vodíka, v dôsledku čoho vnútorný tlak stráca schopnosť udržiavať gravitačné stlačenie plášťa (pozri hlavnú úlohu sekvencie). Pre hviezdy s hmotnosťou až 8-násobnou hmotnosťou Slnka môžu byť v tejto situácii dva dôsledky. V prvom prípade sa jadro môže zrútiť až do okamihu, kedy tlak kvantovo degenerovaných elektrónov zastaví zrútenie a otočí jadro na bielo trpaslíka. V druhom prípade, aj keď tlak degenerovaných elektrónov nedokáže zastaviť zrútenie kvôli veľkej gravitácii látky, jadro sa zmení ešte ďalej, zatiaľ čo pri vysokých teplotách a tlakoch sú neutróny kvantovo degenerované, tlak, ktorý už vyrovnáva zrútenie, vzniká neutronová hviezda.

Obr. 1. Životný cyklus hviezdy. V dôsledku náhodných výkyvov v oblaku plynu a prachu môže dôjsť k zahusteniu látky, ktorá sa postupne zvyšuje. Tak sa objavujú globuly. Ak je hmotnosť globule dostatočná na gravitačnú kompresiu, môže začať proces hviezdnej tvorby. Na konci života sa hviezda hlavnej sekvencie zmení na červeného obra, ktorého osud (presnejšie smrť) určuje hmotnosť.Nedostatočne masívne hviezdy sa zrútia do neutronovej hviezdy alebo bieleho trpaslíka a najťažšie nezastavia a neskôr sa nezhasnú do čiernej diery. Obrázok z futurism.com

V tomto probléme sa navrhuje z prvých zásad určiť, čo môže byť maximálna hmotnosť bieleho trpaslíka. Aby ste to urobili, spomeňte si, že energia hviezdy je určená súčtom tepelnej a gravitačnej energie

{\ Rm tot} = E _ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

V prípade bieleho trpaslíka, pretože všetok protiľahlý gravitačný tlak je určený degenerovanými elektrónmi, ET – to je tepelná energia elektrónov.

Energia relativistickej častice je napísaná ako:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

kde m – hmotnosť častíc, p – jej impulz. Navyše pre nerelativistické (pomalé) častice E = mc2, ako by mala byť (kinetická energia sa berie do úvahy v nasledujúcom poradí rozkladu) a pre ultrarelativistické častice (rýchlo, ktorých kinetická energia je oveľa väčšia ako zvyšná energia), máme E = pc.

Predpokladáme, že všetky elektróny v tak kriticky ťažkom bielom trpaslíkovi sú ultrarelativistické, to znamená pre nich Ee = peC, Potom sa celková tepelná energia elektrónov rovná ET = npeCkde N – počet elektrónov a pe – určitú priemernú hodnotu impulzu každého z nich.

Pri odhadovaní priemernej hybnosti používame skutočnosť, že všetky elektróny sú degenerované. Pre degenerované elektróny, ako aj pre všetky častice s poločíselnou spinovou hodnotou, platí zásada vylúčenia Pauli. Dva elektróny s rovnako orientovanými točkami nemôžu obsadiť rovnaký stav.

Aby ste pochopili, čo to znamená, musíte poskytnúť takzvaný fázový priestor pre prípad, keď existuje len jedna priestorová súradnica x, Tento priestor je súradnicová rovina s osami. px a x, Bod \ ((p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) v takom priestore označuje časticu s hybnosťou \ (p_x ^ 0 \) umiestnenou v bode \ (x ^ 0 \) (obrázok 2). Pri troch priestorových rozmeroch bude fázový priestor šesťrozmerný a je už ťažké ho nakresliť.

Obr. 2. Fázový priestor v prípade jednej priestorovej súradnice x, Bod v takom priestore predstavuje časticu s určitou súradnicou a určitou hybnosťou.

Pokiaľ ide o kvantovo degenerované častice, takýto fázový priestor je rozdelený na bunky, z ktorých každý má podľa princípu Heisenbergovej neurčitosti objem (Delta p \ Delta x \ sim \ hbar) (obrázok 3). Iba dva elektróny (s opačnými otáčkami) môžu byť "vložené" do takejto kvantovej bunky.a zvyšok elektrónov bude musieť byť preplnený už v susedných bunkách.

Obr. 3. Fázový priestor pre jednu priestorovú súradnicu. V prípade kvantovo degenerovaných častíc je objem minimálnej bunky \ (\ hbar \) (v trojrozmernom prípade, ako by ste mohli odhadnúť, že je \ (\ hbar ^ 3 \))

Takže v priestore impulzov (časť plného fázového priestoru) budú elektróny obsadiť všetky bunky (dva po jednom) až po určitý impulz, ktorý sa nazýva Fermi momentum pF, Neexistuje jednoducho viac elektrónov nad touto hybnosťou a pod všetkými bunkami sú obsadené dva elektróny (obrázok 4). Takže priemerný (alebo charakteristický) elektrónový moment bude správny pF/2.

Obr. 4. Trojrozmerný impulzný priestor. Všetky častice s polovičným spinom zaberajú bunky, ktorých hybnosť nepresahuje hybnosť Fermiho. Takéto bunky tvoria akýsi druh "gule"

Takže celkový počet elektrónov N rovnajúcemu sa celkovému objemu fázy (v šesmodernom priestore) vydelený objemom jednej takejto bunky:

\ Delta \ Delta \ Delta \ Delta \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Koeficient 2 vznikol v dôsledku možnosti dvoch elektrónov na každú bunku, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) je veľkosť jednej bunky a \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) je celkový objem fázy.

úloha

1) Za predpokladu, že jadro hviezdy je elektricky neutrálne a hlavne pozostáva z vodíka, pričom sa vynechajú všetky číselné koeficienty, nájsť maximálna hmotnosť bieleho trpaslíka (hmotnosť Chandrasekhar). Vyjadrite to v masách Slnka.
2) Vzhľadom na to, že elektróny sú nerelativistické, nájsť závislosť maximálneho polomeru bieleho trpaslíka na jeho hmotnosti.


Tip 1

Keďže hmota hviezdy je elektricky neutrálna, ľahko sa spája hmotnosť hviezdy a počet elektrónov.


Tip 2

Zamyslite sa nad stavom, za ktorý bude hviezda stáť pri plnej energii. Na akú hmotnosť (alebo rádius, ak hovoríme o druhej časti problému) je táto podmienka porušená? Všimnite si, že v prvom prípade by odpoveď mala byť nezávislá od polomeru.


rozhodnutie

Po prvé, keďže hviezda ako celok je elektricky neutrálna, počet elektrónov by mal byť približne rovnaký ako počet protónov (v skutočnosti to závisí od zloženia, ale vynechávame číselné koeficienty). Keďže protony hlavne prispievajú k hmote hviezdy, počet protónov (rovnako ako počet elektrónov) bude N = M/mp.

Tieto elektróny musia byť "tesne zabalené" podľa princípu Pauli do jednotkových buniek v šesťrozmernom fázovom priestore.Inými slovami, celkový počet elektrónov musí byť rovnaký ako celkový objem fázy vydelený objemom jednotkovej bunky (s faktorom 2, ale vynecháme to)

\ Delta \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {(Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)} = \ frac {V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Objem jednej jednotky bunky \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), priestorový objem \ (Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ 3 \) a "objem" obsadený časticami v priestore impulzov, ako už bolo uvedené vyššie, sa rovná \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Tak, máme

{\ frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \

kde to nájdeme

\ [p_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Ako už bolo uvedené vyššie, elektróny budú mať všetky možné impulzy až k obmedzenému momentu Fermi. pF, kvôli ktorému môžeme brať to ako charakteristickú (priemernú) hodnotu. Celková energia bude potom napísaná ako

\ Frac {\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} {\ frac { } {m_p ^ {4/3}} – GM ^ 2 \ vpravo). \]

Všimnite si, že celková energia hviezdy v skutočnosti závisí od dvoch parametrov – hmotnosť M a polomeru Rzatiaľ čo iba hmotnosť určuje jeho znamenie. hodnota

{\ Frac {c \ hbar} {G} \ right} ^ {3/2} \ sim 1 {,} 86 ~ M_ {Sun}, \]

ktorý sa nazýva aj hmotnosť Chandrasekhar, je hranica medzi negatívnou a pozitívnou celkovou energiou. Presnejší výpočet s realistickým chemickým zložením dáva hodnotu \ (M _ {\ rm Ch} = 1 {, 46 ~ M_ {Sun} \).

Pri \ (M> M \ {\ rm Ch} \) celková energia hviezdy je negatívna a proporcionálna 1 /Rčo znamená menšie hodnoty R bude poskytovať stabilnejší stav hviezdy, ku ktorému sa bude usilovať. To znamená "nekonečné" zrútenie smerom k menšiemu polomeru. Preto, ak jadro je väčšie ako táto hraničná hmotnosť, bude sa ďalej zrútiť.

Problémom je však to, že s \ (M <M _ {\ rm Ch} \) celková energia je pozitívna a to, ako je známe, znamená rozšírenie systému, to znamená zvýšenie polomeru Edrobec). Všimnite si však, že \ (p_F \ propto 1 / R \), moment Fermiho klesá s rastom polomeru.

V riešení sme predpokladali, že častice sú ultrarelativistické a pre nich \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), tento predpoklad sa však môže prerušiť s dostatočne malým \ (p_F \ sim m_e c \), R > R0kde

\ [R_0 \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ {1/3} m_e c}. \]

Potom musíte použiť iný vzorec pre tepelnú energiu, konkrétne \ (E _ {\ rm T} = p_F ^ 2 / 2m_e \), ktorý nám dá pre celkovú energiu výraz

\ M \ R ^ 2} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Závislosť celkovej energie na polomere je znázornená na obr. 5. Ako je zrejmé, existuje stabilný (Edrobec <0) minimálne na R = RWDna ktoré bude systém usilovať.

Obr. 5. Graf závislosti celkovej energie bielych trpaslíkov na polomere (\ (MR < R0 elektróny sú ultrarelativistické a závislosť je nepriamo úmerná polomeru. na R > R0 Závislosť je o niečo zložitejšia a má minimálnu energiu Graf z knihy V. S. Beskina Kvantová mechanika a astrofyzika

Toto minimum môžete ľahko nájsť (od Edrobec je štvorec figuríny vzhľadom na 1 / R):

{\ R \ WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Ak nahradíme hmotu Chandrasekarov namiesto hmoty, dostaneme niečo v duchu 5000 km, teda hviezdnej solárnej hviezdy veľkosti Zeme.


Doslov

Samozrejme, takáto triviálna analýza "na prstoch" nepredstihuje presný kvantitatívny popis. Avšak dostatočne podivne, kvalitatívne a dokonca kvantitatívne, v poriadku, odpovede sú správne. Napokon, v skutočnosti počas zrútenia jadra v určitom bode kvantová degenerácia elektrónov "zapne".

Ak je hmotnosť jadra väčšia ako hranica Chandrasekhar, tento tlak ultrarelativistických degenerovaných elektrónov nie je schopný zastaviť kompresiu a hviezda sa ďalej rozpadne na neutronovú hviezdu. V opačnom prípade sa vytvorí určitá rovnováha medzi tlakom degenerovaných nerelativistických elektrónov a gravitáciou, pri ktorých bude realizovaná minimálna celková energia.

Maximálna hmotnosť Chandrasekar má veľmi praktický význam.Supernovy prvého typu (Ia) vznikajú v dvojitých systémoch, kde hmota z masívnej spoločnej hviezdy prúdi do blízkeho bieleho trpaslíka. Simulácia takého procesu sa zobrazí vo videu:

Vzhľadom na uniknutú látku sa hmotnosť bieleho trpaslíka zvyšuje a v určitom bode môže prekročiť hranicu Chandrasekhar. Potom začne ďalší kolaps a systém exploduje ako supernovu la. Vzhľadom na to, že presne vieme, na akú hmotnosť táto explózia nastane (1,44-1,46 hmotností slnečného žiarenia v závislosti od zloženia a iných faktorov), môžeme predpovedať energiu a trvanie explózie.

Znalosť energie a teoretickej dĺžky je možné s vysokou presnosťou určiť vzdialenosť od explodujúcej supernovy. To robí supernovy typu Ia známe ako "štandardné sviečky", ktorých parametre sú vopred známe. Najmä analýzou veľmi vzdialenej explózie supernov la na konci 20. storočia sa ukázalo, že náš vesmír sa rozširuje s urýchľovaním.

Na začiatku predsudku sme uviedli, že druhá "hranica" pred čiernou dierou pre zrútenú hviezdu je neutronová hviezda. V ňom tlak degenerovaných neutrónov (aj častice s poločíselným spin) už zastavuje gravitačné stlačenie hviezdy.Rovnako ako v prípade bielych trpaslíkov majú neutronové hviezdy konečnú hmotnosť, nazývanú Tolman-Oppenheimer-Volkov limit, TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit).

Odvodenie tejto hodnoty však vyžaduje zohľadnenie vplyvu všeobecnej relativity, pretože rozmery takéhoto systému (približne 10 km) sú porovnateľné s rozmermi horizontu udalosti Schwarzschild pre objekt solárnej hmoty (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3) km). Navyše pre takéto veľké hustoty (hustota neutronovej hviezdy bližšie k stredu prevyšuje hustotu atómového jadra) je potrebné veľmi presné zaznamenávanie silných interakcií medzi nukleónmi. To výrazne komplikuje výpočet maximálnej hmotnosti TOV, ale predpokladá sa, že skutočná hodnota je niekde medzi 1,5 a 3 slnečné hmoty.


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: