"Goldbach Rainbow" • Evgeny Epifanov • Vedecký obraz dňa o "prvkoch" • Matematika

„Goldbach Rainbow“

Táto kresba, podobajúca sa dúhy, je vlastne skôr zvedavá grafika. Bod nad každým párnym číslom (ktorý je uložený vpravo pozdĺž vodorovnej osi) ukazuje, koľko spôsobov môžete rozložiť toto číslo na súčet dvoch prvočísel. Napríklad číslo 6 umožňuje jeden rozklad (3 + 3), číslo 10 – dva (3 + 7 a 5 + 5) a číslo 70 – päť (3 + 67, 11 + 59, 17 + 53, 23 + 47 a 29 + 41). Tento obrázok zobrazuje údaje pre všetky párne čísla od 6 do 411 678. Je zaujímavé, že existuje niekoľko "lúčov" so zvýšenou hustotou bodov v ich blízkosti. Farby neobsahujú žiadne špeciálne informácie.

Zo všeobecných úvah sa zdá byť logické, že čím väčší je počet, tým väčší musí byť počet spôsobov, ako ho reprezentovať ako súčet dvoch jednoduchých výrazov. Ale všetko nie je vôbec tak jednoduché a s tým súvisí jeden zo starých nevyriešených problémov v teórii čísel.

V roku 1742 nemecký matematik Christian Goldbach v liste Leonardovi Eulerovi predniesol hypotézu, že každé nepárne číslo, počnúc 5, môže byť reprezentované ako súčet troch prvočíselných čísel. Euler vo svojom odpoveďovom liste naznačil, že tento predpoklad by mohol byť posilnený: každé sudé číslo, počnúc 4, môže byť reprezentované ako súčet dvoch prvočísel.Vznikol tak problém, ktorý nebol vyriešený viac ako dve a pol storočia, tzv. Goldbachov binárny problém.

Vyhlásenie o zastúpení nepárneho čísla ako súčtu troch prvočísel sa nazýva ternársky problém Holbach. Samozrejme vyplýva z binárneho problému: ak je párné číslo možné reprezentovať ako súčet dvoch prvočísel, potom pridaním 3 získame rozdelenie nepárneho čísla do troch pojmov. V roku 1937 sovietsky matematik I. M. Vinogradov preukázal ternárny problém pre všetky dostatočne veľké počty. Slová "pre všetky dostatočne veľké počty" znamenajú, že hypotéza platí pre všetky čísla, ktoré sú väčšie ako akékoľvek veľmi veľké číslo. Je zaujímavé, že v dokumente Vinogradov toto číslo nebolo uvedené. Neskôr sa objavili ďalšie odhady. Študent Vinogradov K. Borozdin ukázal, že dosť číslo 3315, Toto číslo je asi 106 846 168 – Má približne 7 miliónov číslic. Potom ostatní matematici postupne znižovali tento limit, ale aj teraz je najlepší výsledok taký veľký, že vylučuje priame testovanie hypotézy na počítači. Našťastie existujú aj iné prístupy k riešeniu av rokoch 2012 a 2013 uverejnil peruánsky matematik Harald Helfgott dva články s výsledkami,odkiaľ nasleduje dôkaz ternárneho problému.

Ale s binárnym problémom je úspech omnoho skromnejší. V roku 1930 dokázal Lev Shnirelman dokázať, že celé číslo môže byť reprezentované ako súčet nie viac ako 800 000 prvočísel. Potom sa tento výsledok opakovane zlepšil a v roku 1995 sa ukázalo, že akékoľvek párne číslo sa môže zobraziť ako súčet najviac šiestich prvočísel. Z platnosti trojzložkového problému vyplýva, že podmienky nepotrebujú viac ako štyri. Zdá sa, že je už veľmi blízky hodnotenému cieľu, ale nie je. Overenie počítača pri získavaní čísel okolo 1018.

Obrázok © Jean-Francois Colonna z imaginary.org.

Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: