Trojuholník tehál • Konstantin Knoop • Populárne vedecké úlohy na "prvkoch" • Matematika

Brúsny trojuholník

úloha

Na stavbe položil hromadu tehál červenej, žltej a šedej. stavitelia majster prikázané ich pracovníci šíriť im trojuholníkové steny podľa nasledujúceho pravidla: pre dolnom rade odobratého z haldy 10 ľubovoľnej tehly, potom sa susedné tehly jednej farby ležali tehly rovnakej farby a farebné – zostávajúce tehla farby (príklad pyramídy je znázornené na obrázku ).

V dôsledku toho sa v hornom rade zobrazí iba jedna tehla. Brigády-matematik, pri pohľade na tehly spodného radu, vždy rýchlo a presne odhaduje, akú farbu budú horné tehly. ako robí to?


Tip 1

Keď poznáte spodný riadok, môžete nakresliť všetky riadky tohto muriva (a robiť to rýchlejšie, než stavitelia majú čas na to). Označme túto metódu za neštandardnú pre matematiku (a nie dosť rýchlo).


Tip 2

Je zrejmé, že konkrétne farby nie sú dôležité. Namiesto farieb môžete použiť čísla, napríklad 0, 1 a 2. Ako potom budú zapísané "pravidlá pre pridávanie" novej tehly? Je zrejmé, že dvojica rovnakých čísel by mala zodpovedať rovnakému číslu: (0, 0) → 0; (1, 1) – 1; (2, 2) → 2. Parametr s rôznymi číslami zodpovedá tretej: (0, 1) → 2 atď.Všetky tieto korešpondencie možno vypisovať v jednej tablete:

012
0021
1210
2102

Je možné nastaviť hodnoty uvedené v tejto tabuľke, nie tabuľku, ale nejako inak? Môžete to vyskúšať. Napríklad jednotky v tabuľke zodpovedajú dvojicam (0, 2), (1, 1) a (2, 0) – súčet s počtom čísel rovným 2. A dve? Zodpovedajú dvojicam (0, 1), (1, 0) a (2, 2) – tým, v ktorých súčet je buď 1 alebo 4. Nakoniec nuly zodpovedajú dvojicam (0, 0), (1, 2) a (2, 1) – na tie, ktorých súčet sa rovná buď 0 alebo 3. Toto "alebo" trochu zamieňa: ak by sme napríklad nevedeli, že suma 3 zodpovedá 0, suma 1 zodpovedá 2, a suma 2 zodpovedá 1, potom by sme jednoducho napísali korešpondenčný vzorec: číslo3 = 3 − (číslo1 + číslo2), Z dôvodu jedného z týchto pravidiel bude o niečo ťažšie: ak je výsledkom číslo3 nebude to tak, ako by malo byť, potom budete musieť pridať 3 alebo ho odobrať 3. Ale to nie je tak významné. Hlavná vec je, že vo všetkých prípadoch sa určuje farba ďalšej tehly podľa súčtu farby tých tehál, ktoré sú pod ňou. Premýšľajte o tom, ako by ho mohol použiť brigádnik.


rozhodnutie

Namiesto vzorca "číslo3 = 3 – (číslo1 + číslo2) ", zobrazené v Tip 2, použijeme jednoduchšie:"číslo3 = – (číslo1 + číslo2) ".Koniec koncov, môže byť potrebné k výsledku pridať 3 alebo -3, takže je to v poriadku, ak sa nepodarí toto pridanie / odčítanie trojnásobku okamžite, ale "odložte ho neskôr".

Predpokladajme, že v spodnom (10.) riadku sú tehly, ktoré zodpovedajú 10 číslam: , b, C, d, e, F, g, hod, ja, j, Náš vzorec vám umožní okamžite napísať celú nadradenú (9.) sériu:

(riadok 9) – ( + b), -(b + C), -(C + d), -(d + e), -(e + F), -(F + g), -(g + hod), -(hod + ja), -(ja + j).

Ale potom je tiež napísaný ôsmy riadok: nad číslami – ( + b) a – (b + C) musí byť napísané číslo – (-bbC) = + 2b + C, Tým sa znižujú dvojité nevýhody a ôsmy riadok bude:

(riadok 8) + 2b + C, b + 2C + d, C + 2d + e, d + 2e + F, e + 2F + g, F + 2g + hod, g + 2hod + ja, hod + 2ja + j.

Ďalej zvažujeme. Čísla siedmeho riadku majú tvar – (( + 2b + C + b + 2C + d) = -( + 3b + 3C + d). Tu je možno pripomenúť, že sme súhlasili s odložením všetkých dodatkov a odčítaní trojitých "na neskoršie" a urobiť to isté s podmienkami 3b a 3C, násobok 3. Tak môžeme predpokladať, že prvé číslo siedmeho riadku sa rovná – (a + d). Potom môže byť celý rad napísaný rovnakým spôsobom:

(riadok 7) – ( + d), -(b + e), -(C + F), -(d + g), -(e + hod), -(F + ja), -(g + j).

Ďalej máme riadok 6, v ktorom je opäť znížené dvojité mínus:

(riadok 6) + b + d + e, b + C + e + F, C + d + F + g, d + e + g + hod, e + F + hod + ja, F + g + ja + j.

Znova sa objaví niekoľko 5 minút (postupujte podľa prvého člena a potom je všetko rovnaké):

(riadok 5) – ( + 2b + C + d + 2e + F), -(b + 2C + d + e + 2F + g), -(C + 2d + e + F + 2g + hod), -(d + 2e + F + g + 2hod + ja), -(e + 2F + g + hod + 2ja + j).

V riadku 4 sa znižujú obidve mínusy a skupina výrazov, pre ktoré sa koeficient 3 ukázal ako: namiesto + 3b + 3C + 2d + 3e + 3F + g budeme len odísť + 2d + g:

(riadok 4) + 2d + g, b + 2e + hod, C + 2F + ja, d + 2g + j.

Tehly, a s nimi, a výpočtovej techniky, je stále menej:

(riadok 3) – ( + b + 2d + 2e + g + hod), -(b + C + 2e + 2F + hod + ja), -(C + d + 2F + 2g + ja + j);

(riadok 2) + 2b + C + 2d + 4e + 2F + g + 2hod + ja, b + 2C + d + 2e + 4F + 2g + hod + 2ja + j.

A konečne, tehly v hornom rade:

(riadok 1) – ( + 3b + 3C + 3d + 6e + 6F + 3g + 3hod + 3ja + j) = -( + j).

Čo znamená tento výsledok? Že farba top tehla je určená súčtom len dvoch farieb zo spodného radu – menovite farby dvoch extrémnych tehál. Okrem toho sa určuje tým istým pravidlom, podľa ktorého stavitelia dajú každú ďalšiu tehlu: rovnaká farba zodpovedá dvom a zostávajúca farba zodpovedá dvom rôznym farbám. Samozrejme, brigádny matematik urobil všetky tieto výpočty a zjednodušenia (až po konečný výsledok) vopred, takže v okamihu stavby tehlového trojuholníka sa okamžite pozrel len na extrémne tehly spodného radu.


Doslov

Snažil som sa zvládať riešenie najprimitívnejšej algebry, aby som zachoval v čitateli pocit "zaostrenia". Teraz je však čas pochopiť podstatu tohto zamerania trochu hlbšie.

Po prvé, v istom zmysle môžete zabudnúť na nevýhody: ako sme videli,linky s mínusmi a bez nich len alternatívne, aby sme mohli od začiatku pochopiť, že v hornej línii bude mínus.

Po druhé, skratka trojitých, ktorú sme použili (prvýkrát sme to urobili v ôsmej línii), aj keď znižuje výpočty, zakrýva podstatu. Ak by sme to neurobili, uvidíme výraz formulára v siedmom riadku + 4b + 6C + 4d + ev ďalšom – + 5b + 10C + 10d + 5e + Fa tak ďalej. Písmená v týchto sumách idú abecedne, ale aké sú sekvencie čísiel 1, 4, 6, 4, 1, potom 1, 5, 10, 10, 5, 1 a potom 1, 6, 15, 20, 1? Každý, kto viac alebo menej znalý matematiky rozpozná v týchto sekvenciách Pascalov trojuholník:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

V tomto trojuholníku sa každé číslo rovná súčtu dvoch čísiel, ktoré stoja o jednu čiernu líniu: priamo nad ním a priľahlú k nej (vľavo). Vlastne vzhľad Pascal trojúhelníka by nás nemal prekvapiť; napríklad číslo 15 je koeficient pre C z hľadiska + 6b + 15C + 20d + … je súčet dvoch koeficientov na s: jeden je prevzatý z výrazu + 5b + 10C + 10d + 5e + Fa druhý z výrazu b + 5C + 10d + 10e + 5F + g, Inými slovami, toto je súčet tretieho (10) a druhého (5) koeficientu z predchádzajúceho riadku.

Takto sa môžeme dostať do línie, ktorú potrebujeme. Koeficienty v ňom – ​​1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.A keďže všetky koeficienty, s výnimkou dvoch extrémnych jednotiek, sú delené 3, dáva to požadovaný výsledok "zaostrenia".

Teraz sa môžete pokúsiť urobiť ďalší prirodzený krok a položiť otázku: pre ktoré hodnoty dĺžky spodného radu tehál (N) bude rovnaký trik prácu? Zistili sme, čo je dobré N = 10. Iný vhodný N = 4 (už sme videli, že riadok 1 3 3 1 zodpovedá súčtu dvoch extrémnych termínov). A aké sú hodnoty? Matematický ekvivalent tejto otázky je: Za akých podmienok N všetky koeficienty (N – 1) – riadok Pascalovho trojuholníka, s výnimkou posledného, ​​viac ako 3? Táto otázka je oveľa zložitejšia ako náš pôvodný problém, ale odpoveď na túto otázku je možné získať pomerne základnými matematickými metódami: N – 1 musí mať moc troch. Inými slovami, nasledujúce je vhodné pre zameranie. N rovno 28, potom 82, 244, 730 atď. Pre viac, ako aj zovšeobecnenie problému na iný počet farieb si môžete prečítať anglicky v článku Erharda Berendsa a Steve Humble "Tajomstvá trojuholníka" PDF, 552 Kb), publikované v druhom čísle časopisu Matematická inteligencia na rok 2013 (dva 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: