Body a riadky • Nikolay Avilov • Populárne problémy vedy o "prvkoch" • Matematika

Body a rovné

úloha

Ako sme sa učili v škole v geometrických lekciách, cez dva rôzne body, je možné nakresliť presne jednu priamku. Môžeme povedať, že pár bodov definuje jedinečnú líniu. Ak však existuje viac bodov, počet riadkov, ktoré definujú, môže byť odlišný. Napríklad v závislosti od jeho polohy môžu tri body definovať tri priame čiary (ak sú tieto body vrcholmi nedegenerovaného trojuholníka) alebo jedna priamka (ak sú tieto body kolineárne, to znamená ležia na jednej priamke). Ak je ešte viac bodov, potom existuje viac možností pre ich vzájomné usporiadanie, a preto odpovede na otázku "koľko priamych určuje tieto n Bude to veľa bodov. "Ale táto úloha sa navrhuje zaoberať sa špecifickými konfiguráciami bodov a neskôr budeme diskutovať o niektorých všeobecných otázkach.

Obr. 1

a) Na kockovanom papieri si vezmeme štvorec so stranou piatich buniek a označíme všetky body vnútri a na jeho okraji – získavame 36 bodov vo forme 6 × 6 štvorcových mriežok (obrázok 1). Koľko priamo určiť tieto body? A ak 64 bodov (vo forme 8 × 8 mriežky)?

b) Dĺžka okrajov pravidelného štvorstenca sa rovná 4. Na každom z nich sú označené tri body, ktoré delia hranu na segmenty jednotky. Vrcholy štvorstenca sú tiež označené. Koľko riadky definujú všetky označené body?


pomôcť

Pokúste sa počítať čiary definované menším počtom bodov – 4, 9 alebo 16 bodov. Ak sú odpovede 6, 20 a 62 priamo, potom ste na správnej ceste.

Hlavnou ťažkosťou je, že niektoré priame čiary prechádzajú len dvomi označenými bodmi a niektoré cez tri alebo viac označených bodov. Pri riešení problému je dôležité zorganizovať systém na počítanie priamych čiar.


rozhodnutie

Všetky priame čiary rozdeľujeme do rozdelených tried rovnobežných priamok. Rovné línie s jedným svahom patria do každej triedy. k.

Obr. 2. Niektoré triedy paralelných línií

Na obr. 2 znázorňuje niektoré triedy riadkov. Ich uhlovými koeficientmi okrem 0 a 1 sú všetky možné neredukovateľné správne frakcie, ktorých menovateľ nie je väčší ako 5. Ak chcete získať všetky triedy vo všeobecnosti, musíte brať do úvahy symetriu obrazu. Takže pri výpočte – a čísla, ktoré sa práve ponechajú pridať, – počet riadkov v triedach s k = 0 a k = 1 je potrebné zdvojnásobiť a v iných triedach štyrikrát. Výsledok je 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 riadkov.

Podobný výpočet za 64 bodov poskytne 938 riadkov.

Teraz sa budeme zaoberať štvorstenom. Tento problém možno okamžite zvážiť vo všeobecnej forme. Nechajte rám štvorstenca s okrajom dĺžky m rozdelené bodkami na jednotlivé segmenty.Koľko rôznych priamych čiar definuje tieto body a vrcholy samotného štvorstenca?

Tetrahedrón má 4 vrcholy a 6 okrajov. Spolu s vrcholmi a rozdeľovacími bodmi na ráme štvorstenca sú označené 4 + 6 (m − 1) = 6m – 2 body. Ak by boli všetky tieto body vo všeobecnej pozícii (teda žiadne tri z nich by ležali na tej istej línii), potom by definovali (6m − 2)(6m − 3)/2 = (3m − 1)(6m – 3) priamky (pretože ak sú body vo všeobecnej polohe, potom dva z nich definujú svoju priamku). Teraz musíme vziať do úvahy, že na každom okraji štvorstenca je označené m + 1 bod nie je vo všeobecnej polohe. Ak by tieto body mali všeobecnú pozíciu, mali by definovať m(m + 1) / 2 priamky. Ale všetky tieto riadky sa zhodujú – to je čiarka obsahujúca daný okraj tetraedra. Preto celkový počet riadkov definovaných uvedenými bodmi je (3m − 1)(6m − 3) − 6·m(m + 1) / 2 + 6. Po zjednodušení získame 15m2 − 18m + 9 priamych čiar. V našej úlohe m = 4, takže odpoveď je 177 riadkov.


Doslov

Ak použijeme argumentáciu, ktorú sme použili na odpoveď na prvú otázku problému, nájdeme odpovede na iné štvorce n2 bodov. Tu sú pre n od 2 do 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Táto sekvencia je zahrnutá v online encyklopédii celých sekvencií pod číslom A018808.

Existuje pomerne jednoduchý vzorec na vyjadrenie čísla N tieto riadky pre svojvoľné n? Pokúsme sa ju hľadať.

Z geometrie dopadu používame dve známe skutočnosti.

1) Ak v lietadle zaškrtnite k body vo všeobecnej pozícii (pripomínajúc, že ​​to znamená, že žiadne tri z týchto bodov nespočívajú na jednej priamke), potom sa počet rôznych priamok definovaných týmito bodmi rovná k(k − 1)/2.

Toto tvrdenie sme použili v riešení a je ľahko dokázané indukciou.

2) Ak na lietadle klepnete k body, ktoré nie sú na tej istej línii, potom definujú minimálne k rôznych priamok.

Druhé vyhlásenie znie úplne zrejme, ale najprv sa to osvedčilo až v polovici dvadsiateho storočia a teraz je známe ako veta de Bruin – Erdóos.

Na základe týchto dvoch vlastností môžete odhadnúť číslo N(n). Pomocou druhého faktu dostaneme nižšiu hranicu: N(n) ≥ n2, Pri prvom fakte získame horný odhad: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 je počet určených riadkov n2 body všeobecnej pozície.

To znamená, že ak existuje vzorec N (n) vo forme polynómu od n, – a to je pravdepodobne najjednoduchšia forma vzorca, – tento polynóm môže mať iba 2, 3 alebo 4 stupne. Použitie vyššie uvedených prvých hodnôt N, pomocou metódy neurčitých koeficientov možno preukázať, že vo forme takého polynómu neexistuje žiaden vzorec.

Vyskúšaj iný prístup a zovšeobecňujeme metódu počítania riadkov vydelením paralelných tried do tried. Každá trieda zahŕňa všetky rovnobežné čiary s uhlovým koeficientom k = /b (ďalej frakcie sú pravidelne neredukovateľné).

Pretože každá čiara v rovine je jednoznačne určená uhlovým koeficientom a jedným bodom pre každú triedu s k = /b v bodkovanom štvorci vyberte body, ktoré definujú všetky riadky tejto triedy. V tomto prípade sú možné dva prípady:
1) ak b < n/ 2, potom body definujúce všetky priamky s uhlovým koeficientom /b, sú umiestnené vo vnútri modrých a zelených obdĺžnikov zobrazených vľavo na obr. 3 a ich b·(n) + ·(n − 2b) = n·( + b) − 3ab;
2) ak bn/ 2, potom body definujúce všetky priamky s uhlovým koeficientom /b, sú umiestnené vo vnútri modrého obdĺžnika zobrazeného na obrázku vpravo. 3 a ich (n) (nb).

Obr. 3. Body s pomocou ktorých môžete definovať všetky riadky z danej triedy v štvorci 100 bodov. Príklad vľavo pre k = 2/3, napravo – pre k = 2/7

Počet znakov N(/ba) priamky v triede c k = /b ktorý sa rovná počtu vybratých bodov a vypočíta sa pomocou vyššie uvedených vzorcov.

Preto číslo N(nvšetky priame, dané n2 body možno vypočítať podľa vzorca:

\ N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ limit_ {b = 2} ^ {n-1} \ sum \ frac ab \ right) \]

kde N0 = n – počet vodorovných čiar N1 = 2n – 3počet čiar rovnobežných s uhlopriečkou štvorca. Tento vzorec sa dá ľahko naprogramovať a overiť, či sa výsledky zhodujú.

Dá sa tiež získať opakujúce sa vzťahy pre počet priamych čiar určených štvorcami, ale tiež sa ukázali byť dosť ťažkopádne. Podrobnosti nájdete v článku S. Mustonen, 2009. Na líniách a ich križovatkách.

Argumenty, ktoré boli poskytnuté pre správny štvorhran v riešení pracujú pre akýkoľvek konvexný polyhedrón, v ktorom sú všetky hrany navzájom rovné. V skutočnosti sa nijaké špecifické vlastnosti tetraedrónu nepoužili kdekoľvek, zohľadnil sa len počet jeho vrcholov a okrajov. Takže úvaha sa opakuje takmer doslovne.

Nech je u polyhedron B vrcholy a P rebrá. Spolu s vrcholmi a rozdeľovacími bodmi na ráme označeného polyhedra + P(m – 1) body. Ak by boli všetky tieto body vo všeobecnej polohe, potom by definovali čiary \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \). Ale na každom okraji polyhedronu je označená (m + 1) bod, ktorý by, ak by boli vo všeobecnej pozícii, určil m(m + 1) / 2 priamky, ale namiesto toho definujú iba jednu priamku s okrajom. Znamená to, že všetky z nich musia byť odpočítané od celkového počtu a počet riadkov obsahujúcich hrany sa musí pridať. mať úspech

(B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Pridaj komentár

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: